Question

10．直線y=kx-4與x軸、y軸分別交于B、C兩點，且$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{3}$．
（1）求點B的坐標和k的值；
（2）若點A是第一象限內(nèi)的直線y=kx-4上的一動點，則當點A運動到什么位置時，△AOB的面積是12？
（3）在（2）成立的情況下，x軸上是否存在點P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出點C的坐標和點B的坐標，運用待定系數(shù)法求出k的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出點A的縱坐標，根據(jù)函數(shù)解析式求出點A的坐標；
（3）分OA=PA、OA=PO和OP=PA三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）y=kx-4，
當x=0時，y=-4，
∴點C的坐標為（0，-4），
∴OC=4，又$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{3}$，
∴OB=3，即點B的坐標為（3，0），
3k-4=0，
解得，k=$\frac{4}{3}$；
（2）作AD⊥OB于D，
由題意得，$\frac{1}{2}$×OB×AD=12，
解得，AD=8，即點A的縱坐標為8，
$\frac{4}{3}$x-4=8，
解得，x=9，
∴當點A運動到（9，8）時，△AOB的面積是12；
（3）∵點A的坐標為（9，8），
∴OA=$\sqrt{145}$，
當OA=PA時，
∵AD⊥OP，OD=9，
∴OP=18，
點P的坐標為（18，0），
當OA=PO時，點P的坐標為（-$\sqrt{145}$，0）或（$\sqrt{145}$，0），
如圖2，當OP=PA時，作PH⊥OA于H，
則△OHP∽△ODA，
∴$\frac{OH}{OD}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{\frac{\sqrt{145}}{2}}{9}$=$\frac{OP}{\sqrt{145}}$，
解得，OP=$\frac{145}{18}$，
點P的坐標為（$\frac{145}{18}$，0），
∴點P的坐標為（18，0）或（-$\sqrt{145}$，0）或（$\sqrt{145}$，0）或（$\frac{145}{18}$，0）時，△POA是等腰三角形．

點評 本題考查的是一次函數(shù)知識的綜合運用，掌握坐標與圖形的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上的坐標特點、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用．