【題目】閱讀理解:小明熱愛數(shù)學,在課外書上看到了一個有趣的定理﹣﹣“中線長定理”:三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.如圖1,在△ABC中,點D為BC的中點,根據(jù)“中線長定理”,可得:
AB2+AC2=2AD2+2BD2 . 小明嘗試對它進行證明,部分過程如下:
解:過點A作AE⊥BC于點E,如圖2,在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2 ,
同理可得:AC2=AE2+CE2 , AD2=AE2+DE2 ,
為證明的方便,不妨設BD=CD=x,DE=y,
∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…
(1)請你完成小明剩余的證明過程;
理解運用:
(2)①在△ABC中,點D為BC的中點,AB=6,AC=4,BC=8,則AD=;
②如圖3,⊙O的半徑為6,點A在圓內,且OA=2 ,點B和點C在⊙O上,且∠BAC=90°,點E、F分別為AO、BC的中點,則EF的長為
拓展延伸:
(3)小明解決上述問題后,聯(lián)想到《能力訓練》上的題目:如圖4,已知⊙O的半徑為5 ,以A(﹣3,4)為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B,C都在⊙O上,D為BC的中點,求AD長的最大值.
請你利用上面的方法和結論,求出AD長的最大值.
【答案】
(1)解:過點A作AE⊥BC于點E,如圖2,在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2,
同理可得:AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2,為證明的方便,不妨設BD=CD=x,DE=y,
∴AB2+AC2=2AE2+(x+y)2+(x﹣y)=2AE2+2x2+2y2、
=2AE2+2BD2+2DE2=2AD2+2BD2
(2),4
(3)如圖4中,連接OA,取OA的中點E,連接DE.
由(2)的②可知:DE═ OB2﹣ OA2= ,
在△ADE中,AE= ,DE= ,
∵AD≤AE+DE,
∴AD長的最大值為 + =10
【解析】解:(2)①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2,
∴62+42=2AD2+2×42,
∴AD=
②如圖3中,
∵AF是△ABC的中線,EF是△AEO的中線,OF是△BOC的中線,
∵2EF2+2AE2=AF2+OF2,
2AF2+2BF2=AB2+AC2,
OF2=OB2﹣BF2,
∴4EF2=2OB2﹣4AE2=2OB2﹣OA2,
∴EF=2= OB2﹣ OA2=16,
∴EF=4(負根以及舍棄),
所以答案是 .4.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市為鼓勵居民節(jié)約用水,采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的水費,月用水量不超過20m3時,按2元/m3計費;月用水量超過20m3時,超過部分按2.6元/m3計費.設每戶家庭的月用水量為xm3時,應交水費y元.
(1)試求出0≤x≤20和x>20時,y與x之間的函數(shù)關系;
(2)小明家第二季度用水量的情況如下:
月份 | 四月 | 五月 | 六月 |
用水量(m3) | 15 | 17 | 21 |
小明家這個季度共繳納水費多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】操作探究:
(1)實踐:如圖1, 中,為邊上的中線,的面積記為,的面積記為.則.
(2)探究:在圖2中,、分別為四邊形的邊、的中點,四邊形的面積記為,陰影部分面積記為,則和之間滿足的關系式為______:
(3)解決問題:
在圖3中,、、、分別為任意四邊形的邊、、、的中點,并且圖中陰影部分的面積為平方厘米,求圖中四個小三角形的面積和,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC的三邊長分別為a,b,c,下列條件:①∠A=∠B-∠C;②∠A:∠B:∠C=3:4:5;③a2=(b+c)(b-c);④a:b:c=5:12:13,其中能判斷△ABC是直角三角形的個數(shù)有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了綠化環(huán)境,某中學八年級(3班)同學都積極參加了植樹活動,下面是今年3月份該班同學植樹情況的扇形統(tǒng)計圖和不完整的條形統(tǒng)計圖:
請根據(jù)以上統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題.
(1)植樹3株的人數(shù)為 ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中植樹為1株的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(3)該班同學植樹株數(shù)的中位數(shù)是
(4)小明以下方法計算出該班同學平均植樹的株數(shù)是:(1+2+3+4+5)÷5=3(株),根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識
判斷小明的計算是否正確,若不正確,請寫出正確的算式,并計算出結果
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某種事物經歷了加熱,冷卻兩個聯(lián)系過程,折線圖DEF表示食物的溫度y(℃)與時間x(s)之間的函數(shù)關系(0≤x≤160),已知線段EF表示的函數(shù)關系中,時間每增加1s,食物溫度下降0.3℃,根據(jù)圖象解答下列問題;
(1)當時間為20s、100s時,該食物的溫度分別為℃,℃;
(2)求線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達式;
(3)時間是多少時,該食物的溫度最高?最高是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學初三(1)班共有40名同學,在一次30秒跳繩測試中他們的成績統(tǒng)計如下表:
跳繩數(shù)/個 | 81 | 85 | 90 | 93 | 95 | 98 | 100 |
人 數(shù) | 1 | 2 | 8 | 11 | 5 |
將這些數(shù)據(jù)按組距5(個)分組,繪制成如圖的頻數(shù)分布直方圖(不完整).
(1)將表中空缺的數(shù)據(jù)填寫完整,并補全頻數(shù)分布直方圖;
(2)這個班同學這次跳繩成績的眾數(shù)是個,中位數(shù)是個;
(3)若跳滿90個可得滿分,學校初三年級共有720人,試估計該中學初三年級還有多少人跳繩不能得滿分.
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