【題目】在正方形ABCD中,DE為正方形的外角ADF的角平分線,點G在線段AD上,過點G作PGDE于點P,連接CP,過點D作DQPC于點Q,交射線PG于點H.

(1)如圖1,若點G與點A重合.

依題意補全圖1;

判斷DH與PC的數(shù)量關(guān)系并加以證明;

(2)如圖2,若點H恰好在線段AB上,正方形ABCD的邊長為1,請寫出求DP長的思路(可以不寫出計算結(jié)果).

【答案】(1)補圖見解析;DH=PC,證明見解析;(2)解法見解析.

【解析】

試題分析:(1)依題意補全圖形即可;

由正方形的性質(zhì)和角平分線得出EDF=ADE=45°,證出HAD=PDC,ADQ=DCQ,由ASA證明HAD≌△PDC,得出對應(yīng)邊相等即可;

(2)思路如下:a、與同理可證HGD=PDC,ADQ=DCP,可證HGD∽△PDC;b、由可知GPD為等腰直角三角形,可設(shè)DP=PG=x,則GD=x,AG=1﹣x,易證AGH為等腰直角三角形,則GH=﹣2x;c、由HGD∽△PDC得出比例式,解方程即可求得DP的長.

試題解析:(1)依題意補全圖1,如圖1所示:

DH=PC,理由如下:

DE為正方形的外角ADF的角平分線,

∴∠EDF=ADE=45°,

PGDE于點P,

∴∠DAP=45°,

∴∠HAD=135°,PDC=135°,

∴∠HAD=PDC,

四邊形ABCD為正方形,

AD=CD,

DQPC,

∴∠CDQ+DCQ=90°,

∵∠ADQ+CDQ=90°,

∴∠ADQ=DCQ,

HAD和PDC中,

∴△HAD≌△PDC(ASA),

DH=CP;

(2)求DP長的思路如下:如圖2所示:

a、與同理得:HGD=PDC,ADQ=DCP,

∴△HGD∽△PDC;

b、由可知GPD為等腰直角三角形,

∴∠AGH=PGD=45°,

∴△AGH為等腰直角三角形,

設(shè)DP=PG=x,則GD=x,AG=1﹣x,GH=﹣2x;

c、由HGD∽△PDC得:

,

解得:x=(負(fù)值舍去),

DP=

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