【題目】如圖,對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,5)兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)P為直線AB上的動點,過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q.

①當PQ=6時,求點P的坐標;

②是否存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①當PQ=6時,點P的坐標(1,2),(2,3),(﹣2,﹣1),(5,6);②存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形,點P的坐標為P(4+,5+)或(4﹣,5﹣)或(4,5)或(3.4).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)題意確定拋物線與x軸的另一個交點,然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;

(2)①先求得直線AB的解析式,設P(m,m+1),Q(m,m2﹣2m﹣3),則PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6,然后分m2﹣3m﹣4=﹣6或m2﹣3m﹣4=6兩種情況求得m的值,從而求得P點的坐標;

②由勾股定理,得PA2=(m+1)2+(m+1)2;PQ2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,AQ2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2.然后分PA=PQ、PA=AQ、AQ=AP三種情況列出關于m的方程,解方程求得m的值,即可求得P點的坐標.

解:(1)對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),得C(3,0),

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,將A、B、C點坐標代入,得

解得,

設拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3;

(2)①直線AB的解析式為y=x+1,設P(m,m+1),Q(m,m2﹣2m﹣3),

PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6,

當m2﹣3m﹣4=﹣6,

解得m=1,m=2,

P(1,2)或(2,3);

當m2﹣3m﹣4=6,解得m=﹣2,m=5,

P(﹣2,﹣1)或(5,6);

綜上所述:當PQ=6時,點P的坐標(1,2),(2,3),(﹣2,﹣1),(5,6);

(3)A(﹣1,0),P(m,m+1),Q(m,m2﹣2m﹣3),由勾股定理,得

PA2=(m+1)2+(m+1)2;PQ2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,AQ2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2

①當PA=PQ時,(m+1)2+(m+1)2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,化簡,得(m+1)2[(m﹣4)2﹣2]=0.

于是,得(m﹣4)2﹣2=0,m+1=0.

解得m1=4+,m2=4﹣,m3=﹣1,

當m=﹣1時,P點與A點重合,

P1(4+,5+),P2(4﹣,5﹣);

②當PA=AQ時,(m+1)2+(m+1)2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2,化簡,得(m+1)2(m﹣3﹣1)2=0,

于是,得(m﹣4)2=0,解得m4=4,m5=﹣1,

P3(4,5);

③當AQ=AP時,(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,化簡,得(m+1)2[(m﹣4)2﹣2]=0.

于是,得(m2﹣2m﹣3)2=0.m+1=0,

解得m6=3,m7=﹣1,

P(3,4);

綜上,存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形,點P的坐標為P(4+,5+)或(4﹣,5﹣)或(4,5)或(3.4).

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