【題目】如圖所示,菱形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),點(diǎn)D在y軸的正半軸上,BAD=60°,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0).

(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求直線AC的函數(shù)關(guān)系式;

(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,按照ADCBA的順序在菱形的邊上勻速運(yùn)動(dòng)一周,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.求t為何值時(shí),以點(diǎn)P為圓心、以1為半徑的圓與對(duì)角線AC相切?

【答案】(1)C(4,2);

(2)直線AC的解析式為:y=x+;

(3)當(dāng)t=2、6、10、14時(shí),以點(diǎn)P為圓心、以1為半徑的圓與對(duì)角線AC相切.

【解析】

試題分析:(1)在RtAOD中,根據(jù)OA的長(zhǎng)以及BAD的正切值,即可求得OD的長(zhǎng),從而得到D點(diǎn)的坐標(biāo),然后由菱形的鄰邊相等和對(duì)邊相互平行來(lái)求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線AD的解析式.

(3)由于點(diǎn)P沿菱形的四邊勻速運(yùn)動(dòng)一周,那么本題要分作四種情況考慮:

在RtOAD中,易求得AD的長(zhǎng),也就得到了菱形的邊長(zhǎng),而菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角,那么DAC=BAC=BCA=DCA=30°

當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí),若P與AC相切,由于PAC=30°,那么AP=2R(R為P的半徑),由此可求得AP的長(zhǎng),即可得到t的值;

②③④的解題思路與完全相同,只不過(guò)在求t值時(shí),方法略有不同.

試題解析:(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),BAD=60°,AOD=90°

OD=OAtan60°=2,AD=4,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),

AD=CD,CDAB,

C(4,2);

(2)設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k0),

A(2,0),C(4,2),

,

解得

故直線AC的解析式為:y=x+

(3)四邊形ABCD是菱形,

∴∠DCB=BAD=60°,

∴∠1=2=3=4=30°,

AD=DC=CB=BA=4,(5分)

如圖所示:

點(diǎn)P在AD上與AC相切時(shí),

連接P1E,則P1EAC,P1E=r,

∵∠1=30°

AP1=2r=2,

t1=2.

點(diǎn)P在DC上與AC相切時(shí),

CP2=2r=2,

AD+DP2=6,

t2=6.

點(diǎn)P在BC上與AC相切時(shí),

CP3=2r=2,

AD+DC+CP3=10,

t3=10.

點(diǎn)P在AB上與AC相切時(shí),

AP4=2r=2,

AD+DC+CB+BP4=14,

t4=14,

當(dāng)t=2、6、10、14時(shí),以點(diǎn)P為圓心、以1為半徑的圓與對(duì)角線AC相切.

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(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(2)當(dāng)PAE=15°時(shí),求t的值;

(3)以點(diǎn)P為圓心,PA為半徑的P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化,當(dāng)P與四邊形AEBC的邊(或邊所在的直線)相切時(shí),求t的值.

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