精英家教網(wǎng)如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q的⊙O的切線(xiàn)交OA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R.
(Ⅰ)求證:RP=RQ;
(Ⅱ)若OP=PA=1,試求PQ的長(zhǎng).
分析:(I)要證明RP=RQ,需要證明∠PQR=∠RPQ,連接OQ,則∠OQR=90°;根據(jù)OB=OQ,得∠B=∠OQB,再根據(jù)等角的余角相等即可證明;
(II)延長(zhǎng)AO交圓于點(diǎn)C,首先根據(jù)勾股定理求得BP的長(zhǎng),再根據(jù)相交弦定理求得QP的長(zhǎng)即可.
解答:(Ⅰ)證法一:
連接OQ;
∵RQ是⊙O的切線(xiàn),精英家教網(wǎng)
∴∠OQB+∠BQR=90°.
∵OA⊥OB,
∴∠OPB+∠B=90°.
又∵OB=OQ,
∴∠OQB=∠B.
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ.
∴RP=RQ.
證法二:
作直徑BC,連接CQ;∵BC是⊙O的直徑,
∴∠B+∠C=90°.精英家教網(wǎng)
∵OA⊥OB,
∴∠B+∠BPO=90°.
∴∠C=∠BPO.
又∠BPO=∠RPQ,
∴∠C=∠RPQ.
又∵RQ為⊙O的切線(xiàn),
∴∠PQR=∠C.
∴∠PQR=∠RPQ.
∴RP=RQ.

(Ⅱ)解法一:精英家教網(wǎng)
作直徑AC,
∵OP=PA=1,
∴PC=3.
由勾股定理,得BP=
12+22
=
5

由相交弦定理,得PQ•PB=PA•PC.
即PQ×
5
=1×3,
∴PQ=
3
5
5

解法二:精英家教網(wǎng)
作直徑AE,過(guò)R作RF⊥BQ,垂足為F,
設(shè)RQ=RP=x;
由切割線(xiàn)定理,得:x2=(x-1),(x+3)
解得:x=
3
2

又由△BPO∽△RPF得:
PF
OP
=
PR
BP
,
∴PF=
3
2
5
×1=
3
5
10
,
由等腰三角形性質(zhì)得:PQ=2PF=
3
5
5
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、弦切角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相交弦定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)較多,難度適中.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

16、如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB.P是OA上的任意一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)Q,點(diǎn)R在OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且RP=RQ.
(1)求證:RQ是⊙O的切線(xiàn);
(2)求證:OB2=PB•PQ+OP2;
(3)當(dāng)RA≤OA時(shí),試確定∠B的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于Q,過(guò)Q的⊙O的切線(xiàn)交OA的延長(zhǎng)線(xiàn)于R.求證:RP=RQ.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖①,OA和OB是⊙O的半徑,且OA⊥OB,P是OA上的任意一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于D,PD的垂直平分線(xiàn)交OA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C,連接CD.
(1)求證:CD是⊙O的切線(xiàn);
(2)若P是OA延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn),其他條件不變,CD還是⊙O的切線(xiàn)嗎?如果是,在備用圖②中作出相應(yīng)圖形(請(qǐng)保留作圖痕跡),并論證.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)交OA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R,且RP=RQ
求證:直線(xiàn)QR是⊙O的切線(xiàn).

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