16、如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB.P是OA上的任意一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q,點(diǎn)R在OA的延長(zhǎng)線上,且RP=RQ.
(1)求證:RQ是⊙O的切線;
(2)求證:OB2=PB•PQ+OP2;
(3)當(dāng)RA≤OA時(shí),試確定∠B的取值范圍.
分析:(1)要證明RQ是⊙O的切線只要證明∠OQR=90°即可;
(2)先證明△BCP∽△AQP,從而得到PB•PQ=PC•PA,整理即可得到OB2=PB•PQ+OP2;
(3)分別考慮當(dāng)RA=OA時(shí)或與A重合時(shí),∠B的度數(shù),從而確定其取值范圍.
解答:證明:(1)連接OQ;
∵OB=OC,PR=RQ;
∴∠OBP=∠OQP,∠RPQ=∠RQP;
∵∠OBP+∠BPO=90°,∠BPO=∠RPQ;
∴∠OQP+∠RQP=90°;
即∠OQR=90°,
∴RQ是⊙O的切線.

證明:(2)延長(zhǎng)AO⊙O交于點(diǎn)C;
∵∠BPC=∠QPA,∠BCP=∠AQP,
∴△BCP∽△AQP,
∴PB•PQ=PC•PA=(OC+OP)(OA-OP)=(OB+OP)(OB-OP)=OB2-OP2,
∴OB2=PB•PQ+OP2

解:(3)當(dāng)RA=OA時(shí),∠R=30°,易得∠B=15°,當(dāng)R與A重合時(shí),∠B=45°;
∵R是OA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),
∴R與A不重合,
∴∠B≠45°;
又∵RA≤OA,
∴∠B<45°,
∴15°≤B<45°.
點(diǎn)評(píng):此題考查了學(xué)生對(duì)切線的判定及相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q的⊙O的切線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)R.
(Ⅰ)求證:RP=RQ;
(Ⅱ)若OP=PA=1,試求PQ的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于Q,過Q的⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于R.求證:RP=RQ.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖①,OA和OB是⊙O的半徑,且OA⊥OB,P是OA上的任意一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于D,PD的垂直平分線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接CD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若P是OA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn),其他條件不變,CD還是⊙O的切線嗎?如果是,在備用圖②中作出相應(yīng)圖形(請(qǐng)保留作圖痕跡),并論證.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q的直線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,且RP=RQ
求證:直線QR是⊙O的切線.

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