如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于Q,過(guò)Q的⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于R.求證:RP=RQ.
分析:首先連接OQ,由切線的性質(zhì),可得∴∠OQB+∠BQR=90°,又由OA⊥OB,可得∠OPB+∠B=90°,繼而可證得∠PQR=∠BPO=∠RPQ,則可證得RP=RQ.
解答:證明:連接OQ,
∵RQ是⊙O的切線,
∴OQ⊥QR,
∴∠OQB+∠BQR=90°.
∵OA⊥OB,
∴∠OPB+∠B=90°.
又∵OB=OQ,
∴∠OQB=∠B.
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ.
∴RP=RQ.
點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及垂直的定義.此題難度不大,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q的⊙O的切線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)R.
(Ⅰ)求證:RP=RQ;
(Ⅱ)若OP=PA=1,試求PQ的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

16、如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB.P是OA上的任意一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q,點(diǎn)R在OA的延長(zhǎng)線上,且RP=RQ.
(1)求證:RQ是⊙O的切線;
(2)求證:OB2=PB•PQ+OP2;
(3)當(dāng)RA≤OA時(shí),試確定∠B的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖①,OA和OB是⊙O的半徑,且OA⊥OB,P是OA上的任意一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于D,PD的垂直平分線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接CD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若P是OA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn),其他條件不變,CD還是⊙O的切線嗎?如果是,在備用圖②中作出相應(yīng)圖形(請(qǐng)保留作圖痕跡),并論證.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q的直線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,且RP=RQ
求證:直線QR是⊙O的切線.

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