精英家教網(wǎng)已知：二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x2+4x-1．
（1）設(shè)這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P，與y軸的交點(diǎn)為A，求P、A兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將二次函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位，設(shè)平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)為B、C（其中點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及tan∠APB的值．
分析：（1）利用配方法將原函數(shù)解析式變?yōu)閥=2（x+1）2-3，則可求得這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)P，又由x=0時(shí)，y=-1，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）首先求得平移后的二次函數(shù)的解析式，則可求得B、C的坐標(biāo)，然后求得AB，AP，PB的長(zhǎng)，則可得∠PAB=90°，則問題得解．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）y=2x2+4x-1=2（x2+2x）-1=2（x+1）2-3，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（-1，-3），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：A（0，-1）；

（2）平移后的解析式為：y=2x2+4x．
令y=0，得2x2+4x=0，
∴x1=0，x2=-2．
∴平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：B（-2，0），C（0，0）；
由A（0，-1），B（-2，0），P（-1，-3），
可得：AB=
22+12
=
5
，AP=
22+12
=
5
，PB=
12+32
=
10
．
∴AB2+AP2=PB2．
∴∠PAB=90°．
∴tan∠APB=
AB
PA
=
5
5
=1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，勾股定理的應(yīng)用以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•自貢）已知拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）有如下兩個(gè)特點(diǎn)：①無論實(shí)數(shù)a怎樣變化，其頂點(diǎn)都在某一條直線l上；②若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少
1
a
，縱坐標(biāo)增大
1
a
分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加
1
a
，縱坐標(biāo)增加
1
a
分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)也在拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）上．
（1）求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）的頂點(diǎn)所在直線l的解析式；
（2）請(qǐng)找出在直線l上但不是該拋物線頂點(diǎn)的所有點(diǎn)，并說明理由；
（3）你能根據(jù)特點(diǎn)②的啟示，對(duì)一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）提出一個(gè)猜想嗎？請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達(dá)出來，并給予證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：四川省自貢市2011年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷 題型：044

已知拋物線y＝ax2＋2x＋3(a≠0)有如下兩個(gè)特點(diǎn)：①無論實(shí)數(shù)a怎樣變化，其頂點(diǎn)都在某一條直線l上；②若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增大分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)也在拋物線y＝ax2＋2x＋3(a≠0)上．

(1)求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y＝ax2＋2x＋3(a≠0)的頂點(diǎn)所在直線l的解析式；

(2)請(qǐng)找出在直線上但不是該拋物線頂點(diǎn)的所有點(diǎn)，并說明理由；

(3)你能根據(jù)特點(diǎn)②的啟示，對(duì)一般二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋x(a≠0)提出一個(gè)猜想嗎？請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達(dá)出來，并給予證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）有如下兩個(gè)特點(diǎn)：①無論實(shí)數(shù)a怎樣變化，其頂點(diǎn)都在某一條直線l上；②若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少數(shù)學(xué)公式，縱坐標(biāo)增大數(shù)學(xué)公式分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加數(shù)學(xué)公式，縱坐標(biāo)增加數(shù)學(xué)公式分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)也在拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）上．
（1）求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）的頂點(diǎn)所在直線l的解析式；
（2）請(qǐng)找出在直線l上但不是該拋物線頂點(diǎn)的所有點(diǎn)，并說明理由；
（3）你能根據(jù)特點(diǎn)②的啟示，對(duì)一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）提出一個(gè)猜想嗎？請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達(dá)出來，并給予證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：四川省中考真題 題型：解答題

已知拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）有如下兩個(gè)特點(diǎn)：①無論實(shí)數(shù)a怎樣變化，其頂點(diǎn)都在某一條直線l上；②若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增大分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)也在拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）上。
（1）求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）的頂點(diǎn)所在直線l的解析式；
（2）請(qǐng)找出在直線l上但不是該拋物線頂點(diǎn)的所有點(diǎn)，并說明理由；
（3）你能根據(jù)特點(diǎn)②的啟示，對(duì)一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）提出一個(gè)猜想嗎？請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達(dá)出來，并給予證明。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省自貢市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）有如下兩個(gè)特點(diǎn)：①無論實(shí)數(shù)a怎樣變化，其頂點(diǎn)都在某一條直線l上；②若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增大分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)也在拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）上．
（1）求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax2+2x+3（a≠0）的頂點(diǎn)所在直線l的解析式；
（2）請(qǐng)找出在直線l上但不是該拋物線頂點(diǎn)的所有點(diǎn)，并說明理由；
（3）你能根據(jù)特點(diǎn)②的啟示，對(duì)一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）提出一個(gè)猜想嗎？請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達(dá)出來，并給予證明．

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