已知拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)有如下兩個特點:①無論實數(shù)a怎樣變化,其頂點都在某一條直線l上;②若把頂點的橫坐標(biāo)減少,縱坐標(biāo)增大分別作為點A的橫、縱坐標(biāo);把頂點的橫坐標(biāo)增加,縱坐標(biāo)增加分別作為點B的橫、縱坐標(biāo),則A,B兩點也在拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)上.
(1)求出當(dāng)實數(shù)a變化時,拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)的頂點所在直線l的解析式;
(2)請找出在直線l上但不是該拋物線頂點的所有點,并說明理由;
(3)你能根據(jù)特點②的啟示,對一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)提出一個猜想嗎?請用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達(dá)出來,并給予證明.
【答案】分析:(1)取a=1和-1,求出兩點的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出直線l的解析式即可;
(2)求出拋物線y=ax2+2x+3的頂點P坐標(biāo)為,根據(jù)其取值,即可得出不是該拋物線的頂點的坐標(biāo);
(3)猜想:對于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),將其頂點的橫坐標(biāo)減少,縱坐標(biāo)增加分別作為點A的橫、縱坐標(biāo);把頂點的橫坐標(biāo)增加,縱坐標(biāo)增加分別作為點B的橫、縱坐標(biāo),則A,B兩點也在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上;求出其橫、縱坐標(biāo),把橫坐標(biāo)代入函數(shù)式,驗證即可;
解答:解:(1)取a=1,得拋物線y=x2+2x+3,
其頂點為P1(-1,2).
取a=-1,得拋物線y=-x2+2x+3,
其頂點為P2(1,4).
由題意有P1、P2在直線l上,設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,則
解得:
∴直線l的解析式為y=x+3.

(2)∵拋物線y=ax2+2x+3的頂點P坐標(biāo)為
顯然P在直線y=x+3上.
能取到除0以外的所有實數(shù),
∴在y=x+3上僅有一點(0,3)不是該拋物線的頂點.

(3)猜想:對于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),將其頂點的橫坐標(biāo)減少,縱坐標(biāo)增加分別作為點A的橫、縱坐標(biāo);把頂點的橫坐標(biāo)增加,縱坐標(biāo)增加分別作為點B的橫、縱坐標(biāo),則A,B兩點也在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上.證明如下:
∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)為(),
∴點A的坐標(biāo)為
點B的坐標(biāo)為
時,
∴點A在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),
同理有B也在拋物線上,故結(jié)論成立.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的解析式及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,熟記二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式及其性質(zhì),是正確解答的關(guān)鍵.
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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點,且精英家教網(wǎng)與x軸的另一個交點為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點D的坐標(biāo)和對稱軸;
(3)求四邊形ABDE的面積.

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已知拋物線y=ax2和直線y=kx的交點是P(-1,2),則a=
 
,k=
 

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2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點坐標(biāo)為(2,-3),那么該拋物線有( 。

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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點P在x軸上,與y軸交于點Q,過坐標(biāo)原點O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

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(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點A(1,0),頂點為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點B,且于該拋物線交于另一點C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時y1的取值范圍.

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