Question

已知拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）有如下兩個特點(diǎn)：①無論實(shí)數(shù)a怎樣變化，其頂點(diǎn)都在某一條直線l上；②若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增大分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)也在拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）上。
（1）求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時，拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）的頂點(diǎn)所在直線l的解析式；
（2）請找出在直線l上但不是該拋物線頂點(diǎn)的所有點(diǎn)，并說明理由；
（3）你能根據(jù)特點(diǎn)②的啟示，對一般二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）提出一個猜想嗎？請用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達(dá)出來，并給予證明。

Answer 1

解：（1）取a=1，得拋物線，
其頂點(diǎn)為，
取a=-1，得拋物線，
其頂點(diǎn)為，
由題意有在直線l上，設(shè)直線l的解析式為，
則解得：
∴直線l的解析式為；
（2）∵拋物線的頂點(diǎn)P坐標(biāo)為，
顯然P在直線上，
又能取到除0以外的所有實(shí)數(shù)，
∴在上僅有一點(diǎn)（0，3）不是該拋物線的頂點(diǎn)；
（3）猜想：對于拋物線，將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)也在拋物線上，
證明如下：
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵時，
∴點(diǎn)A在拋物線，
同理有B也在拋物線上，故結(jié)論成立。