【題目】如圖1,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線(a0)與x軸交于另一點(diǎn)A(,0),在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點(diǎn)B(2,t).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式;

(2)在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)C,滿足以B,O,C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2,求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)如圖2,若點(diǎn)M在這條拋物線上,且MBO=ABO,在(2)的條件下,是否存在點(diǎn)P,使得POC∽△MOB?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)C(1,﹣1);(3)存在P坐標(biāo)為(,)或(﹣,).

【解析】

試題分析:(1)由直線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo),由A、B坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式;

(2)過(guò)C作CDy軸,交x軸于點(diǎn)E,交OB于點(diǎn)D,過(guò)B作BFCD于點(diǎn)F,可設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo),利用C點(diǎn)坐標(biāo)可表示出CD的長(zhǎng),從而可表示出BOC的面積,由條件可得到關(guān)于C點(diǎn)坐標(biāo)的方程,可求得C點(diǎn)坐標(biāo);

(3)設(shè)MB交y軸于點(diǎn)N,則可證得ABO≌△NBO,可求得N點(diǎn)坐標(biāo),可求得直線BN的解析式,聯(lián)立直線BM與拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo),過(guò)M作MGy軸于點(diǎn)G,由B、C的坐標(biāo)可求得OB和OC的長(zhǎng),由相似三角形的性質(zhì)可求得的值,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí),過(guò)P作PHx軸于點(diǎn)H,由條件可證得MOG∽△POH,由==的值,可求得PH和OH,可求得P點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)P點(diǎn)在第三象限時(shí),同理可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:

(1)B(2,t)在直線y=x上,t=2,B(2,2),把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得,解得,拋物線解析式為

(2)如圖1,過(guò)C作CDy軸,交x軸于點(diǎn)E,交OB于點(diǎn)D,過(guò)B作BFCD于點(diǎn)F,點(diǎn)C是拋物線上第四象限的點(diǎn),可設(shè)C(t,2t2﹣3t),則E(t,0),D(t,t),OE=t,BF=2﹣t,CD=t﹣(2t2﹣3t)=﹣2t2+4t,SOBC=SCDO+SCDB=CDOE+CDBF=(﹣2t2+4t)(t+2﹣t)=﹣2t2+4t,∵△OBC的面積為2,﹣2t2+4t=2,解得t1=t2=1,C(1,﹣1);

(3)存在.設(shè)MB交y軸于點(diǎn)N,如圖2B(2,2),∴∠AOB=NOB=45°,在AOB和NOB中,∵∠AOB=NOB,OB=OB,ABO=NBO,∴△AOB≌△NOB(ASA),ON=OA=,N(0,),可設(shè)直線BN解析式為y=kx+,把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得22k+,解得k=,直線BN的解析式為,聯(lián)立直線BN和拋物線解析式可得,解得M(,),C(1,﹣1),∴∠COA=AOB=45°,且B(2,2),OB=,OC=,∵△POC∽△MOB, ==2,POC=BOM,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí),如圖3,過(guò)M作MGy軸于點(diǎn)G,過(guò)P作PHx軸于點(diǎn)H,如圖3

∵∠COA=BOG=45°,∴∠MOG=POH,且PHO=MGO,∴△MOG∽△POH,===2,M(,),MG=,OG=PH=MG=,OH=OG=,P();

當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí),如圖4,過(guò)M作MGy軸于點(diǎn)G,過(guò)P作PHy軸于點(diǎn)H,同理可求得PH=MG=,OH=OG=P(﹣,);

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為()或(﹣,).

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