Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)與點(diǎn)B(0，4)．

(1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在第三象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P，使得PA⊥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)C(，)在該拋物線上，當(dāng)≤≤3時(shí)，1≤≤5，請(qǐng)確定的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，5)； (2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,－4)； (3) 的取值范圍是：-1≤≤1．

【解析】

（1）將代入，解關(guān)于b、c的二元一次方程組，得到解析式進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）分別過B與點(diǎn)P作軸的平行線BD、PE，過點(diǎn)A作軸的垂線交BD于D、交PE于點(diǎn)E，證出AE＝PE，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，分別用含m的代數(shù)式表示出AE和PE的長，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意，分別求出q的最大值與最小值，從而確定q的取值范圍．

(1)將代入得

解得

∴，

∴所求的拋物線的解析式為:， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，5)

(2)如圖，分別過B與點(diǎn)P作軸的平行線BD、PE，過點(diǎn)A作軸的垂線交BD于D、交PE于點(diǎn)E

∵PA⊥AB

∴

∴∠DAB+∠PAE＝90°.

由A(3，1)、B(0，4)知BD＝AD＝3

∴∠DAB＝45°

∴∠PAE＝90°－∠DAB＝90°－45°＝45°

∴∠PAE＝∠APE＝45°

∴AE＝PE

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則

AE＝

PE＝

∴

解得：或(點(diǎn)P在第三象限，不合題意，舍去)

∴時(shí)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,－4).

(3)∵1≤n≤5且拋物線的頂點(diǎn)為(1，5)

∴區(qū)間包含頂點(diǎn)

∴的最大值為1

在中，當(dāng)時(shí)，或者

∴的最小值為－1

∴的取值范圍是：-1≤≤1.