Question

【題目】已知：內接于，，直徑交弦于點.

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，連接并延長交于點，弦經過點，交于點，若，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點為線段上一點，連接，，，交于點，連接，，，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）連接CO，DO，求出，根據三線合一證明即可；

（2）連接OF，過點O作OQ⊥MN于點Q，OR⊥AC于點R，OT⊥AD于點T，證明Rt△EOT≌Rt△FOR，可推出AE＝CF；

（3）過點C作CK∥AD交AP的延長線于點K，過點E作EW⊥AF于點W，證△CPF≌△CPK，△CGK≌△EGA，求出DE＝2GH＝14，AC＝25＋14＝39，CR＝，再求出AW，CW的長，通過勾股定理求出EW，CE的長，推出CG的長，通過銳角三角函數求出OC的長，進一步可求出OG的長．

（1）證明：如圖，連接，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，即；

（2）證明：如圖，連接，過點作于點，于點，于點，則，，

∵，

∴，即，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，即；

（3）解：如圖，

∵，

∴，

∴，

在四邊形中，，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

過點作交的延長線點，則，，，

∵，

∴，

∴，又∵，，

∴，∴，

∴，∴，

∴，∵，，∴，∴，∴.

過點作于點，∴，∴.

在中，，

在中，，∴.

∴.

在中，，∴，∴，

∴.