【題目】如圖1,在ABC中,A=36°,AB=AC,ABC的平分線BE交AC于E.

(1)求證:AE=BC;

(2)如圖(2),過點E作EFBC交AB于F,將AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α(0°α144°)得到AE′F′,連結(jié)CE′,BF′,求證:CE′=BF′;

(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CE′AB?若存在,求出相應的旋轉(zhuǎn)角α;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)存在CE′AB,當旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時,CE′AB.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對應角之間的關系進而得出答案;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:E′AC=F′AB,AE′=AF′,根據(jù)全等三角形證明方法得出即可;(3)分別根據(jù)當點E的像E′與點M重合時,則四邊形ABCM為等腰梯形,當點E的像E′與點N重合時,求出α即可.

試題解析:(1)證明:AB=BC,A=36°,

∴∠ABC=C=72°,

BE平分ABC,

∴∠ABE=CBE=36°,

∴∠BEC=180°﹣C﹣CBE=72°,

∴∠ABE=A,BEC=C,

AE=BE,BE=BC,

AE=BC.

(2)證明:AC=AB且EFBC,

AE=AF;

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:E′AC=F′AB,AE′=AF′,

CAE′和BAF′中

∴△CAE′≌△BAF′,

CE′=BF′.

(3)存在CE′AB,

理由:由(1)可知AE=BC,所以,在AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中,E點經(jīng)過的路徑(圓弧)與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點,

如圖:當點E的像E′與點M重合時,則四邊形ABCM為等腰梯形,

∴∠BAM=ABC=72°,又BAC=36°,

α=CAM=36°.

當點E的像E′與點N重合時,

由ABl得,AMN=BAM=72°,

AM=AN,

∴∠ANM=AMN=72°,

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°,

α=CAN=CAM+MAN=72°.

所以,當旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時,CE′AB.

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