Question

如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高線，要使△ACD的面積是△ABC和△ABD面積的比例中項，請你添加一個適當?shù)臈l件：

 

．

Answer 1

分析：由AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高線，即可得S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

BC•AD，S_△ABD=

1

2

AD•BD，S_△ACD=

1

2

AD•CD，然后由要使△ACD的面積是△ABC和△ABD面積的比例中項，根據(jù)比例中項的性質(zhì)，即可求得答案．

解答：解：∵AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高線，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

BC•AD，S_△ABD=

1

2

AD•BD，S_△ACD=

1

2

AD•CD，
∵要使△ACD的面積是△ABC和△ABD面積的比例中項，
即S_△ACD²=S_△ABC•S_△ABD，
∴（AD•CD）²=AD•BC•AD•BD，
∴⑥CD²=BC•BD；
∵AB²=BC•BD，
∴①AB=CD；
∵AD²=BD•CD，AC²=BC•CD，
∴③AD²=BD•AB，②AC²=AB•BC；
∵（AD•CD）²=AB•AC•AD•BD，AD²=BD•AB，
∴④CD²=AC•AD；
∴⑤AB²=AD•AC；
有多種答案，如①AB=CD；②AC²=AB•BC；③AD²=BD•AB④CD²=AC•AD；⑤AB²=AD•AC；⑥CD²=BC•BD等等．
故答案為：①AB=CD；②AC²=AB•BC；③AD²=BD．AB④CD²=AC•AD；⑤AB²=AD•AC；⑥CD²=BC•BD．

點評：此題考查了直角三角形面積的求解方法與比例中項的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用與比例變形．