Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)和關(guān)于直線對稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的“二次對稱點(diǎn)”．

　

（1）已知點(diǎn)，直線是經(jīng)過且平行于軸的一條直線，則點(diǎn)的“二次對稱點(diǎn)”的坐標(biāo)為______；

（2）如圖1，直線經(jīng)過、，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

①點(diǎn)關(guān)于軸，直線的“二次對稱點(diǎn)”的坐標(biāo)為______；

②當(dāng)點(diǎn)在軸上移動，請你在圖1中畫出它關(guān)于軸，直線的“二次對稱點(diǎn)”的運(yùn)動路徑．

（3）如圖2，是軸上的動點(diǎn)，線段經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線經(jīng)過且與軸負(fù)半軸夾角為60°，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，若線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的“二次對稱點(diǎn)”，且點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】（1）（1，4）；（2）①（-1，-1）；②見解析；（3）-3＜＜1

【解析】

（1）根據(jù)“二次對稱點(diǎn)”的概念先算出A關(guān)于y軸對稱點(diǎn)，再求出該點(diǎn)關(guān)于l的點(diǎn)即可；

（2）①求出直線l的解析式，從而根據(jù)定義得出結(jié)果；

②根據(jù)對稱的性質(zhì)可得運(yùn)動路徑是直線，從而求出該直線，畫出即可；

（3）根據(jù)題意討論當(dāng)點(diǎn)N分別與點(diǎn)R和點(diǎn)S重合時，求出點(diǎn)N′的運(yùn)動路徑，再根據(jù)點(diǎn)N′在線段RS上得出的最大值和最小值即可.

解：（1）由題意可知：∵A（-1，0），

∴點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)A1坐標(biāo)為（1，0），

∵l是經(jīng)過（0，2）且平行于軸的一條直線，即y=2，

∴點(diǎn)A關(guān)于軸，直線的“二次對稱點(diǎn)”坐標(biāo)為（1，4）；

（2）①∵直線經(jīng)過、，

設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，將、，代入

，

解得，

∴直線l的解析式為：y=x+1，

∵點(diǎn)E（2，0），

由題意可得點(diǎn)E關(guān)于軸，直線的“二次對稱點(diǎn)”為（-1，-1）；

②由關(guān)于軸，直線的“二次對稱點(diǎn)”的定義可知，

當(dāng)點(diǎn)E在x軸運(yùn)動時，點(diǎn)E關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)E1也在x軸上，

而點(diǎn)x軸關(guān)于直線l的對稱圖形為直線x=-1，

∴點(diǎn)E1關(guān)于直線l對稱點(diǎn)在直線x=-1上，運(yùn)動軌跡如圖：

（3）∵直線經(jīng)過且與軸正半軸夾角為60°，

如圖，直線l與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，

∴∠BCO=60°，

∴BC=2CO，

在△BCO中，BO2+CO2=BC2，BO=1，

解得：CO=，即點(diǎn)C（，0），

結(jié)合B（0，1），可求得：直線l的表達(dá)式：，

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)R重合， N（t，1），

由題意可知，如圖，此時點(diǎn)N′的運(yùn)動路徑為l1，

∵∠CBO=90°-60°=30°，

∴∠N″BO=30°，

∵OB=1，

∴可知l1和l關(guān)于y軸對稱，

∴l1的表達(dá)式為：y=，

與y軸交點(diǎn)為（0，1）；

當(dāng)點(diǎn)N和點(diǎn)S重合，N（t，-1），

由題意可知，如圖，此時點(diǎn)N′的運(yùn)動路徑為l2，且l1∥l2，

設(shè)l2的解析式為y=x+b1，

當(dāng)N′在l1上時，將y=-1代入l1，

解得x=，

此時N′坐標(biāo)為（，-1），代入l2中，

解得b1=-3，

∴l2的解析式為y=x-3，

∴l2與y軸交點(diǎn)為（0，-3），

由題意可知當(dāng)點(diǎn)N在線段RS上時，N′的運(yùn)動軌跡皆為直線，且在l1和l2之間，

綜上所述，的取值范圍是：-3＜＜1.