Question

【題目】已知點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線，記作“”，設(shè)其與軸另一交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）①當(dāng)為直角三角形時(shí)，________；

②當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求此時(shí)“”的解析式；

（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1，2，3，……（為正整數(shù)）時(shí)，拋物線“”，分別記作“”，“”…“”，設(shè)其與軸另一交點(diǎn)分別為，，…，過(guò)，，，…，作軸的垂線，垂足分別為，，，…，．

①的坐標(biāo)為________，________；（用含的代數(shù)式表示）

②當(dāng)時(shí)，求的值；

③是否存在這樣的，使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）①，，②，③存在，

【解析】

（1）①易知是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則P（m，m），代入即可求出m；

②當(dāng)為等邊三角形時(shí)，則P（m，），代入求出m，可得P點(diǎn)和A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求“”的解析式即可；

（2）①根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)的對(duì)稱性可得答案；

②根據(jù)列方程求解即可；

③如圖，當(dāng)時(shí)，，證明，求出，求出，即可解決問(wèn)題．

解：（1）①∵為“”頂點(diǎn)，為直角三角形，

∴是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴P（m，m），

代入得：，

∴；

②如圖1，過(guò)作軸于，

當(dāng)是等邊三角形時(shí)，，

∴P（m，），

代入得：，

∴，

∴，，

設(shè)“”的解析式為：，

將代入得，，

解得：，

∴“”的解析式為：；

（2）①∵點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，

∴，；

②∵，

∴，即，

解得：（舍去），，

∴；

③存在，

如圖，當(dāng)時(shí)，，

∴，

∵坐標(biāo)為，

把代入，得，

∴坐標(biāo)為，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．