【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸、y軸分別交于點A(﹣1,0),B(3,0)、C(0,﹣3)三點.
(1)直接寫出拋物線的解析式 ;
(2)點D(2,m)在第一象限的拋物線上,連接BC、BD,試問,在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點P,滿足∠PBC=∠DBC?如果存在,請求出點P點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
(3)如圖2,在(2)的條件下,將△BOC沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移,記平移后的三角形為△B′O′C′,在平移過程中,△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S,設(shè)平移的時間為t秒(0≤t≤3),試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式?
【答案】(1)、y=x2﹣2x﹣3;(2)、P(﹣,﹣);(3)、S=.
【解析】
試題分析:(1)、根據(jù)題意設(shè)拋物線交點式,待定系數(shù)法求解可得;(2)、求出點D坐標(biāo)可得CD∥x軸,由B、C坐標(biāo)可得∠OCB=∠CBO=∠DCB=45°,繼而證△CDB≌△CQB可得CQ=CD=2,即點Q的坐標(biāo),從而求得直線BP的解析式,設(shè)拋物線上的點P(n,n2﹣2n﹣3),代入直線BP解析式可求得n的值,可得答案;
(3)、①點C′在CD上運動時,即0≤t≤2時,根據(jù):S=S△BCD﹣S△CC″E﹣S△C″DF,求解即可;②點C′在CD延長線上運動時,即2<t≤3時,根據(jù):S=S△GEB,求解可得.
試題解析:(1)、根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
將點C(0,﹣3)代入,得:﹣3a=﹣3,
解得:a=1, ∴y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3,
(2)、存在, 將點D(2,m)代入拋物線解析式得:m=﹣3, ∴D(2,﹣3),
∵B(3,0),C(0,﹣3) ∴OC=OB, ∴∠OCB=∠CBO=45°, 如圖1,設(shè)BP交y軸于點Q,
∵CD∥x軸, ∴∠DCB=∠BCQ=45° ∴△CDB≌△CQB(ASA) ∴CQ=CD=2,
∴點Q(0,﹣1), 設(shè)直線BP:y=kx﹣1,
點B(3,0)代入得:3k﹣1=0, ∴k=, ∴直線BP:y=x﹣1,
設(shè)P的坐標(biāo)為(n,n2﹣2n﹣3), 代入y=x﹣1,得:n2﹣2n﹣3=n﹣1
解得:n=﹣或n=3(舍去) 當(dāng)n=﹣時,n2﹣2n﹣3=﹣ ∴P(﹣,﹣).
(3)、∵B(3,0),C(0,﹣3),D(2,﹣3), ∴求得直線BC:y=x﹣3,直線BD:y=3x﹣9,
①當(dāng)0≤t≤2時,如圖2:
∵由已知設(shè)C′(t,﹣3),B′(3+t,0) ∴求得直線C′B′:y=(x﹣t)﹣3,再聯(lián)立直線BD:y=3x﹣9,求得F(,﹣t), ∵∠DCB=45° ∴C′E=t
∴S=S△BCD﹣S△CC″E﹣S△C″DF=×2×3﹣×t×t﹣×(2﹣t)(3﹣t),
整理得:S=﹣t2+3t(0≤t≤2)
②當(dāng)2<t≤3時,如圖3:
∵由已知設(shè)G(t,3t﹣9),E(t,t﹣3) ∴S=S△GEB=[(﹣3t+9)﹣(﹣t+3)]×(3﹣t)
整理得:S=t2﹣6t+9(2<t≤3), 綜上所述:S=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某居民小區(qū)開展節(jié)約用電活動.該小區(qū)100戶家庭4月份節(jié)電情況如圖所示.那么四月份這100戶家庭的節(jié)約電量,單位千瓦時的平均數(shù)是( )
節(jié)電量(千瓦時) | 20 | 30 | 40 | 50 |
戶數(shù)(戶) | 20 | 30 | 30 | 20 |
A.35B.26C.25D.20
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD(四邊相等,四個角都是直角)的邊長為4,點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿射線AD向點D運動;點Q從點D同時出發(fā),以相同的速度沿射線AD方向向右運動,當(dāng)點P到達(dá)點D時,點Q也停止運動,連接BP,過點P作BP的垂線交過點Q平行于CD的直線l于點E,BE于CD相交于點F,連接PF,設(shè)點P運動時間為t(s),
(1)求∠PBE的度數(shù);
(2)當(dāng)t為何值時,△PQF是以PF為腰的等腰三角形?
(3)試探索在運動過程中△PDF的周長是否隨時間t的變化而變化?若變化,說明理由;若不變,試求這個定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=30°,點M,N分別在邊OA,OB上,OM=5,ON=12,點P,Q分別在邊OB,OA上運動,連接MP,PQ,QN,則MP+PQ+QN的最小值為 ______ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道,無限循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù).例如:將 轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)時,可設(shè) =x,則x=0.3+ x,解得x= ,即 = .仿此方法,將 化成分?jǐn)?shù)是 .
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