【題目】如圖,點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn),分別以AC、BC為邊在線(xiàn)段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE,連接AE交DC于M,連接BD交CE于N,連接MN.
(1)求證:AE=BD;
(2)請(qǐng)判斷△CMN的形狀,并說(shuō)明理由。
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是等邊三角形,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由等邊三角形的性質(zhì),結(jié)合條件可證明△ACE≌△DCB,則可證得AE=BD;
(2)利用(1)的結(jié)論,結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可證明△ACM≌△DCN,可證得MC=NC,則可判定△CMN為等邊三角形.
(1)證明:
∵△ACD和△BCE是等邊三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,
∵∠DCA=∠ECB=60°,
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,
在△ACE與△DCB中,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD;
(2)解:△CMN為等邊三角形,理由如下:
∵由(1)得,△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三點(diǎn)共線(xiàn),
∴∠DCN=60°,
在△ACM與△DCN中,
∴△ACM≌△DCN(ASA),
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°,
∴△MCN為等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀探索
問(wèn)題背景:著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出把“數(shù)形關(guān)系”(勾股定理)帶到其他星球,作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次”談話(huà)“的語(yǔ)言.2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖注》,它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖1所示).勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理,它有很多種證明方法,我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖,利用面積進(jìn)行了證明.
趙爽證明方法如下:
以a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角形的面積等于,把這四個(gè)直角三角形拼成如圖1所示形狀.
∵Rt△DAE≌Rt△ABF
∴∠EDA=∠FAB
∵∠EAD+∠EDA=90°
∴∠FAB+∠EAD=90°
∴四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形,它的面積等于
∵EF=FG=GH=HE=b-a
∠HEF=90°
∴四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的正方形,它的面積等于
∴
∴ 從而證明了勾股定理.
思維拓展:
1、如果大正方形的面積為13,小正方形的面積為1,直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a,較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b,那么的值為 .
2、美國(guó)第二十屆總統(tǒng)加菲爾德也曾經(jīng)給出了勾股定理的一種證明方法,如圖2所示,
他用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼出了一個(gè)直角梯形,請(qǐng)你利用此圖形驗(yàn)證勾股定理.
證明:∵直角梯形ABCD的面積可以用兩種方法表示:
第一種方法表示為:
第二種方法表示為:
∴ =
∴
探索創(chuàng)新:
用紙做成四個(gè)全等的直角三角形,兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b,斜邊長(zhǎng)為c,請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋,將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形(不同于上面圖1和圖2).請(qǐng)畫(huà)出你拼成的圖形,并用你畫(huà)的圖形證明勾股定理.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】賽龍舟是端午節(jié)的主要習(xí)俗,某市甲乙兩支龍舟隊(duì)在端午節(jié)期間進(jìn)行劃龍舟比賽,從起點(diǎn)A駛向終點(diǎn)B,在整個(gè)行程中,龍舟離開(kāi)起點(diǎn)的距離y(米)與時(shí)間x(分鐘)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示,請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題:
(1)起點(diǎn)A與終點(diǎn)B之間相距多遠(yuǎn)?
(2)哪支龍舟隊(duì)先出發(fā)?哪支龍舟隊(duì)先到達(dá)終點(diǎn)?
(3)分別求甲、乙兩支龍舟隊(duì)的y與x函數(shù)關(guān)系式;
(4)甲龍舟隊(duì)出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)兩支龍舟隊(duì)相距200米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】天貓網(wǎng)的新時(shí)代書(shū)店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書(shū),已知甲種圖書(shū)進(jìn)價(jià)比乙種圖書(shū)貴4元,用3000元購(gòu)進(jìn)甲種圖書(shū)的數(shù)量與用2400元購(gòu)進(jìn)乙種圖書(shū)的數(shù)量相同.
(1)甲、乙兩種圖書(shū)的單價(jià)分別為多少元?
(2)若甲種圖書(shū)每本售價(jià)30元,乙種圖書(shū)每本售價(jià)25元,書(shū)店欲同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種圖書(shū)共100本,請(qǐng)寫(xiě)出所獲利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于甲種圖書(shū)x(單位:本)的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,若書(shū)店計(jì)劃用不超過(guò)1800元購(gòu)進(jìn)兩種圖書(shū),且甲種圖書(shū)至少購(gòu)進(jìn)40本,并將所購(gòu)圖書(shū)全部銷(xiāo)售,共有多少種購(gòu)進(jìn)方案?哪一種方案利潤(rùn)最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,4),作出點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P1,稱(chēng)為第1次變換;再作出點(diǎn)P1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P2,稱(chēng)為第2次變換;再作點(diǎn)P2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P3,稱(chēng)為第3次變換,…,依次類(lèi)推,則第2019次變換得到的點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為 ____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4,面積是16,腰AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交AC,AB邊于E,F點(diǎn)若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)M為線(xiàn)段EF上一動(dòng)點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值為
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:在4×4的網(wǎng)格中存在線(xiàn)段AB,每格表示一個(gè)單位長(zhǎng)度,并構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系.
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo):A( , ),B( , );
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中確定點(diǎn)C(1,﹣2)的位置并連接AC、BC,則△ABC是 三角形(判斷其形狀);
(3)在現(xiàn)在的網(wǎng)格中(包括網(wǎng)格的邊界)存在一點(diǎn)P,點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)為整數(shù)(在格點(diǎn)上),連接PA、PB后得到△PAB為等腰三角形,則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有 個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,
(1)根據(jù)要求作圖(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)畫(huà)法):
①作∠BAC的平分線(xiàn)AD交BC于D;
②作線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)交AB于E,交AC于F,垂足為H;
③連接ED.
(2)在(1)的基礎(chǔ)上寫(xiě)出一對(duì)全等三角形:△ ≌△ 并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】李老師為了了解學(xué)生暑期在家的閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了20名學(xué)生某一天的閱讀小時(shí)數(shù),具體情況統(tǒng)計(jì)如下:
閱讀時(shí)間 (小時(shí)) | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 |
學(xué)生人數(shù)(名) | 1 | 2 | 8 | 6 | 3 |
則關(guān)于這20名學(xué)生閱讀小時(shí)數(shù)的說(shuō)法正確的是( 。
A. 眾數(shù)是8 B. 中位數(shù)是3 C. 平均數(shù)是3 D. 方差是0.34
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