【題目】閱讀探索
問(wèn)題背景:著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出把“數(shù)形關(guān)系”(勾股定理)帶到其他星球,作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次”談話(huà)“的語(yǔ)言.2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖注》,它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖1所示).勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理,它有很多種證明方法,我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖,利用面積進(jìn)行了證明.
趙爽證明方法如下:
以a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角形的面積等于,把這四個(gè)直角三角形拼成如圖1所示形狀.
∵Rt△DAE≌Rt△ABF
∴∠EDA=∠FAB
∵∠EAD+∠EDA=90°
∴∠FAB+∠EAD=90°
∴四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形,它的面積等于
∵EF=FG=GH=HE=b-a
∠HEF=90°
∴四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的正方形,它的面積等于
∴
∴ 從而證明了勾股定理.
思維拓展:
1、如果大正方形的面積為13,小正方形的面積為1,直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a,較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b,那么的值為 .
2、美國(guó)第二十屆總統(tǒng)加菲爾德也曾經(jīng)給出了勾股定理的一種證明方法,如圖2所示,
他用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼出了一個(gè)直角梯形,請(qǐng)你利用此圖形驗(yàn)證勾股定理.
證明:∵直角梯形ABCD的面積可以用兩種方法表示:
第一種方法表示為:
第二種方法表示為:
∴ =
∴
探索創(chuàng)新:
用紙做成四個(gè)全等的直角三角形,兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b,斜邊長(zhǎng)為c,請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋,將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形(不同于上面圖1和圖2).請(qǐng)畫(huà)出你拼成的圖形,并用你畫(huà)的圖形證明勾股定理.
【答案】思維拓展:1、25;2、ab+ab+c2,(a+b)(a+b),ab+ab+c2,(a+b)(a+b);探索創(chuàng)新:見(jiàn)詳解.
【解析】
思維拓展:1、根據(jù)題意,結(jié)合圖形求出ab與a2+b2的值,原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可求出值;
2、用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積,從而證明勾股定理.
探索創(chuàng)新:把四個(gè)全等的直角三角形的斜邊首尾相接,可拼成所需圖案,分別用兩種方法計(jì)算大正方形的面積,從而可得結(jié)果.
思維拓展:1、解:根據(jù)題意得:c2=a2+b2=13,4×ab=13-1=12,即2ab=12,
則(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25,
故答案為:25.
2、解:此圖可以看成有三個(gè)直角三角形的面積和,面積分別為ab,ab和c2,
因此圖形面積為ab+ab+c2,
還可以看成一個(gè)直角梯形,其面積為(a+b)(a+b),
∴ab+ab+c2=(a+b)(a+b).
探索創(chuàng)新:解:如圖所示,
證明:∵大正方形的面積可表示為(a+b)2,
大正方形的面積也可表示為:c2+4×ab,
∴(a+b)2=c2+4×ab,
即a2+b2+2ab=c2+2ab,
∴a2+b2=c2,
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O外一點(diǎn),AC,BC分別與⊙O相交于D.
(1)在圖中作出△ABC的邊AB上的高CH.(要求:①僅用無(wú)刻度真尺,且不能用直尺中的直角;②保留必要的作圖痕跡)
(2)連接DE,若,則∠C的度數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一架梯子AB長(zhǎng)13米,斜靠在一面墻上,梯子底端離墻5米.(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高?(2)如果梯子的頂端下滑了5米,那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,的三個(gè)頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,已知,,.
(1)畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的(其中,,分別是,,的對(duì)應(yīng)點(diǎn),不寫(xiě)畫(huà)法);
(2)分別寫(xiě)出,,三點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)請(qǐng)寫(xiě)出所有以為邊且與全等的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)(不與重合)的坐標(biāo)_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P,Q是直線(xiàn)y=﹣上的兩點(diǎn),P在Q的左側(cè),且滿(mǎn)足OP=OQ,OP⊥OQ,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知AD是△ABC的邊BC上的中線(xiàn),AB=12,AC=8,則邊BC及中線(xiàn)AD的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀理解:如圖1,我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.垂美四邊形有如下性質(zhì):
垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等.
已知:如圖1,四邊形ABCD是垂美四邊形,對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)E.
求證:AD2+BC2=AB2+CD2
證明:∵四邊形ABCD是垂美四邊形
∴AC⊥BD,
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,
由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2.
拓展探究:
(1)如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)如圖3,在Rt△ABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn),分別以AB,AC為底邊,在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,連接FD,F(xiàn)E,分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.試猜想四邊形FMAN的形狀,并說(shuō)明理由;
問(wèn)題解決:
如圖4,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5.求GE長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,2),若點(diǎn)P在x軸上,且△APO是直角三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn),分別以AC、BC為邊在線(xiàn)段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE,連接AE交DC于M,連接BD交CE于N,連接MN.
(1)求證:AE=BD;
(2)請(qǐng)判斷△CMN的形狀,并說(shuō)明理由。
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