Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交y軸于點(diǎn)B（0，3），交x軸于A，C兩點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），點(diǎn)P是BC上方拋物線上一動點(diǎn)(P不與B，C重合)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P到直線BC距離是，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接AP交線段BC于點(diǎn)H，點(diǎn)M是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且CH=BM，當(dāng)AH+CM的值最小時(shí)，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）點(diǎn)M坐標(biāo)（0，）．

【解析】

（1）將點(diǎn)B（4，0），C（0，3）代入原方程得出b、c的值即可求得；

（2）過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，則PE=，過點(diǎn)P作PG∥BC于G，則PG=，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則G點(diǎn)坐標(biāo)為，即PG=，整理得，，解得或，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在Rt△BOC中，∠BOC=90°，可得BC=5，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于N，使CN=BC；連接AN交BC于H交拋物線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，在射線CB上截取CH=BM，因?yàn)?/span>CN∥y軸，可得∠NCH=∠CBM，又因?yàn)?/span>CN=BC，可證△BMC≌△CHN(SAS)，即可得到HN=CM，AH+CM=AH+NH，所以當(dāng)A，N，H三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)P即為所求，AH+CM最小，設(shè)AH表達(dá)式為，把A（-1，0），N（4，5）代入上式，求得解析式為y=x+1，聯(lián)立方程組，解得，得到H點(diǎn)坐標(biāo)是（），CH=BM=，即可得到點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，）；

（1）把B（4，0），C（0，3）代入原方程得，，

解得：，

∴；

（2）過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，則PE=，

過點(diǎn)P作PG∥BC于G，則PG=，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則G點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴PG=，

即，

解得或，

∴P；

（3）∵在Rt△BOC中，∠BOC=90°，

∴BC=，

過點(diǎn)C作CH⊥x軸于N，使CN=BC；連接AN交BC于H交拋物線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，

在射線CB上截取CH=BM，

∵CN∥y軸，

∴∠NCH=∠CBM，

∵CN=BC，

∴△BMC≌△CHN(SAS)，

∴HN=CM，

∴AH+CM=AH+NH，

∴當(dāng)A，N，H三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)P即為所求，AH+CM最小，

設(shè)AH表達(dá)式為，

把A（-1，0），N（4，5）代入上式，

，

解得，

∴y=x+1，

聯(lián)立方程組

解得，

∴H點(diǎn)坐標(biāo)是（），CH=BM=，

點(diǎn)M坐標(biāo)（0，）；