直線與x、y軸分別交于點(diǎn)A、C.拋物線的圖象經(jīng)過A、C和點(diǎn)B(1,0).

(1)求拋物線的解析式;
(2)在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D,當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí),求出點(diǎn)D的坐標(biāo),并求出最大距離是多少?
解:(1)在直線解析式中,令x=0,得y=﹣2;令y=0,得x=4,
∴A(4,0),C(0,﹣2)。
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
∵點(diǎn)A(4,0),B(1,0),C(0,﹣2)在拋物線上,
,解得。
∴拋物線的解析式為:。
(2)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(x,y),
在Rt△AOC中,OA=4,OC=2,由勾股定理得:AC=。
如圖,連接CD、AD,過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作AG⊥FD交FD的延長線于點(diǎn)G,

則FD=x,DG=4﹣x,OF=AG=y,F(xiàn)C=y+2。
SACD=S梯形AGFC﹣SCDF﹣SADG
=(AG+FC)•FG﹣FC•FD﹣DG•AG
=(y+y+2)×4﹣(y+2)•x﹣(4﹣x)•y
=2y﹣x﹣4
代入得:SACD=2y﹣x﹣4=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4。
∴當(dāng)x=2時(shí),△ACD的面積最大,最大值為4。
當(dāng)x=2時(shí),y=1,∴D(2,1)。
∵SACD=AC•DE,AC=,
∴當(dāng)△ACD的面積最大時(shí),高DE最大,
則DE的最大值為:。
∴當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1),最大距離為。

試題分析:(1)首先求出點(diǎn)A,點(diǎn)C的坐標(biāo);然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
(2)AC為定值,當(dāng)DE最大時(shí),△ACD的面積最大,因此只需要求出△ACD面積的最大值即可。如圖所示,作輔助線,利用SACD=S梯形AGFC﹣SCDF﹣SADG求出SACD的表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值,并進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和DE的最大值。
練習(xí)冊系列答案
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(2013年浙江義烏10分)小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換.如圖△ABC,△DEF均為等腰直角三角形,各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(2,2),C(2,1),D(,0),E(, 0),F(xiàn)(,).
(1)他們將△ABC繞C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)450得到△A1B1C.請你寫出點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo),并判斷A1C和DF的位置關(guān)系;
(2)他們將△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)450,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上.請你求出符合條件的拋物線解析式;
(3)他們繼續(xù)探究,發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45,若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上,則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo).請你直接寫出點(diǎn)P的所有坐標(biāo).

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如圖,已知點(diǎn)A(0,4),B(2,0).

(1)求直線AB的函數(shù)解析式;
(2)已知點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),以M為頂點(diǎn)的拋物線y=(x﹣m)2+n與線段OA交于點(diǎn)C.
①求線段AC的長;(用含m的式子表示)
②是否存在某一時(shí)刻,使得△ACM與△AMO相似?若存在,求出此時(shí)m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線與x軸相交于O、B,頂點(diǎn)為A,連接OA.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠AOB的度數(shù);
(2)若將拋物線向右平移4個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,得到拋物線m,其頂點(diǎn)為點(diǎn)C.連接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′.試判斷其形狀,并說明理由;
(3)在(2)的情況下,判斷點(diǎn)C′是否在拋物線上,請說明理由;
(4)若點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試探究在拋物線m上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)O、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,且OC為該四邊形的一條邊?若存在,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn),過A、B兩點(diǎn)的拋物線為y=﹣x2+bx+c.點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式.
(2)當(dāng)DE=4時(shí),求四邊形CAEB的面積.
(3)連接BE,是否存在點(diǎn)D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此點(diǎn)D坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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y1>y2.其中說法正確的是【   】
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(1)求平移后的拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)∠ACB和∠ABD是否相等?請證明你的結(jié)論;
(3)點(diǎn)P在平移后的拋物線的對(duì)稱軸上,且△CDP與△ABC相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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