【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B、C重合），過(guò)M作MN∥y軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，連接NB，NC，是否存在點(diǎn)M，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，當(dāng)m＝時(shí)，△BNC的面積最大，最大值為

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，N、M縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值即為MN的長(zhǎng)；

（3）根據(jù)題（1）（2）的結(jié)論，列出關(guān)于m的表達(dá)式，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值即可.

（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)，代入得：

，解得：

則拋物線的解析式為；

（2）由拋物線可知，

因此，設(shè)直線BC的解析式為：

代入得

解得：

則直線BC的解析式：

已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且軸，則；

則

故MN的長(zhǎng)為；

（3）存在點(diǎn)M，使的面積最大

如圖，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D

則

即

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，隨m的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨m的增大而減小

則當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】成都市某景區(qū)經(jīng)營(yíng)一種新上市的紀(jì)念品，進(jìn)價(jià)為20元/件，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)；當(dāng)銷售單價(jià)是30元時(shí)，每天的銷售量為200件；銷售單價(jià)每上漲2元，每天的銷售量就減少10件.這種紀(jì)念品的銷售單價(jià)為x（元）.

（1）試確定日銷售量y（臺(tái)）與銷售單價(jià)為x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要求每天的銷售量不少于15件，且每件紀(jì)念品的利潤(rùn)至少為30元，則當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該紀(jì)念品每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+4與拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c是常數(shù)）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上．設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），

①如圖2，若點(diǎn)P在直線AB上方，連接OP交AB于點(diǎn)D，求的最大值；

②如圖3，若點(diǎn)P在x軸的上方，連接PC，以PC為邊作正方形CPEF，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)E或F恰好落在y軸上，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某租賃公司擁有汽車100輛．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出．每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加1輛．租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元．

（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？

（2）當(dāng)每輛車的租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益（租金收入扣除維護(hù)費(fèi)）可達(dá)到306600元？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)．

（1）P，Q兩點(diǎn)出發(fā)幾秒后，可使△PBQ的面積為8cm2．

（2）設(shè)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，△PBQ的面積為Scm2，請(qǐng)寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△PBQ面積的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，將水平放置的三角板ABC繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，連結(jié)并延長(zhǎng)BB'、C'C相交于點(diǎn)P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．

（1）若記B'C'中點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)PD，則PD＝_____；

（2）若記點(diǎn)P到直線AC'的距離為d，則d的最大值為_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知菱形OABC的邊長(zhǎng)為5，且tan∠AOC＝，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、E的拋物線y＝ax2+bx+c與邊AB交于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)DE，將△BDE沿著DE翻折．

①當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在線段AC上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②連接OB、BB'，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)該拋物線二次項(xiàng)系數(shù)a＝　 　．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑做圓，與BC相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的廷長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且∠AOD=∠BAD．

（1）求證：AB為⊙O的切線；

（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線與x 軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）①直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．

（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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