Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+6x﹣5與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）連接CP，當(dāng)CP平分∠OCB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，E，B，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣5）；（2）當(dāng)CP平分∠OCB時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，42）；（3）存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，E，B，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，0），（5，52），（5，﹣4）或（5，﹣2﹣5）．

【解析】

（1）令y=0，求出x的值，即可得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0，求出y的值，即可得C得坐標(biāo)；（2）由PE⊥x軸可得PE//OC，即可證明∠OCP＝∠CPE，由CP平分∠OCB即可證明∠PCE＝∠CPE，可得PE=CE，根據(jù)B、C坐標(biāo)可得OB=OC、直線BC的解析式，設(shè)P（x，﹣x2+6x﹣5），可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x﹣5），根據(jù)OB=OC可得CE=x，根據(jù)PE=CE列方程求出x的值即可得答案；（3）設(shè)P（x，﹣x2+6x﹣5），則E（x，x﹣5），當(dāng)BQ為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BQ⊥PE，由PE⊥x軸可得點(diǎn)Q在x軸上，可得PH=EH，可求出H點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)BH=QH即可得Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，PE＝EB＝BQ＝QP，分別用x表示出PE、BE的長(zhǎng)，列方程求出x的值即可；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，根據(jù)PE=AB，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，由PB＝PE＝EQ＝QB，∠EAB=90°，即可得Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，PE＝EB＝BQ＝QP，分別用x表示出PE、BE的長(zhǎng)，列方程求出x的值即可；綜上即可得答案.

（1）拋物線y＝﹣x2+6x﹣5與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C

令y＝0時(shí)，得﹣x2+6x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝5，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）

令x＝0時(shí)，y＝﹣5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣5）

（2）當(dāng)CP平分∠OCB時(shí)，∠OCP＝∠ECP，

∵PE⊥x軸，

∴PE//OC，

∴∠OCP＝∠CPE，

∴∠PCE＝∠CPE，

∴PE＝EC．

由題意可得直線BC的解析式為y＝x﹣5

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+6x﹣5），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x﹣5），

∴PE＝﹣x2+6x﹣5﹣（x﹣5）＝﹣x2+5x．

∵B（5，0），C（0，-5），

∴OB＝OC=5，

∴CE=OH，

∴CE=x，

∴﹣x2+5x=x，

解得x1＝0（不合題意），x2＝5，

當(dāng)x＝5時(shí)，﹣x2+6x﹣5＝42．

∴當(dāng)CP平分∠OCB時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，42）；

（3）存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，E，B，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，0），（5，52），（5，﹣4）或（5，﹣2﹣5）

理由如下：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+6x﹣5），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x﹣5），

如圖1，當(dāng)BQ為對(duì)角線時(shí)：

∵PQEB是菱形，

∴PE⊥QB，PH＝HE，QH＝HB，

∴點(diǎn)Q在x軸上，

此時(shí)yP＝﹣yE，即﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣5），

解得x1＝2，x2＝5（不合題意，舍去），

∴H（2，0），

∴QH＝HB＝3，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，且PE＝EB＝BQ＝QP時(shí)，四邊形PEBQ為菱形．

∵PE＝﹣x2+6x﹣5﹣（x﹣5）＝﹣x2+5x，BE=BH（5﹣x），

∴﹣x2+5x（5﹣x），

解得x1＝5（不合題意，舍去），x2．

當(dāng)x時(shí)，BQ＝PE＝52，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，52）．

如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PB＝PE．

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），

∵PB＝PE＝EQ＝QB，∠EAB=90°，

∴Q的坐標(biāo)為（5，﹣4）．

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，且PE＝EB＝BQ＝QP時(shí)，四邊形PEBQ為菱形．

∵PE＝x﹣5﹣（﹣x2+6x﹣5）＝x2﹣5x，

BEBH（5﹣x），

∴x2﹣5x（5﹣x），

解得x1＝5（不合題意，舍去），x2．

當(dāng)x時(shí)，QB＝PE＝2+5，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，﹣2﹣5）．

綜上所述，存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，E，B，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，0），（5，52），（5，﹣4）或（5，﹣2﹣5）．