Question

【題目】如圖，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6 ，∠BAD=60°，且AB＞6 ．

（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AP長(zhǎng)的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，如圖1所示．

∵PE=PF=6，EF=6 ，

∴FG=EG=3 ，∠FPG=∠EPG= ∠EPF．

在Rt△FPG中，sin∠FPG= = = ，

∴∠FPG=60°，

∴∠EPF=120°．

（2）

解：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，作PN⊥AD于點(diǎn)N，如圖2所示．

∵AC為菱形ABCD的對(duì)角線，

∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．

在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，

∴Rt△PME≌Rt△PNF，

∴ME=NF．

又AP=10，∠PAM= ∠DAB=30°，

∴AM=AN=APcos30°=10× =5 ，

∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10

（3）

解：如圖，

當(dāng)△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AD，AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在P1，P之間運(yùn)動(dòng)，

∴P1O=PO=3，AO=9，

∴AP的最大值為12，AP的最小值為6

【解析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判斷出Rt△PME≌Rt△PNF，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求解即可，（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況及菱形的性質(zhì)判斷求出AP最大和最小值．此題是菱形的性質(zhì)題，主要考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線．