Question

【題目】如圖1，直線分別與軸、軸交于、兩點，平分交于點，點為線段上一點，過點作交軸于點，已知，，且滿足．

（1）求兩點的坐標；

（2）若點為中點，延長交軸于點，在的延長線上取點，使，連接．

①與軸的位置關系怎樣？說明理由；

②求的長；

（3）如圖2，若點的坐標為，是軸的正半軸上一動點，是直線上一點，且的坐標為，是否存在點使為等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（3,0），點B的坐標為（0,6）；（2）①BG⊥y軸，理由見解析；②；（3）存在，點E的坐標為（0,4）

【解析】

（1）根據(jù)平方和絕對值的非負性即可求出m和n的值，從而求出點A、B的坐標；

（2）①利用SAS即可證出△BDG≌△ADF，從而得出∠G=∠AFD，根據(jù)平行線的判定可得BG∥AF，從而得出∠GBO=90°，即可得出結論；

②過點D作DM⊥x軸于M，根據(jù)平面直角坐標系中線段的中點公式即可求出點D的坐標，從而求出OM=，DM=3，根據(jù)角平分線的定義可得∠COA=45°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定可得△FMD為等腰三角形，FM=DM=3，從而求出點F的坐標；

（3）過點F作FG⊥y軸于G，過點P作PH⊥y軸于H，利用AAS證出△GFE≌△HEP，從而得出FG=EH，GE=PH，然后根據(jù)點F和點P的坐標即可求出OE的長，從而求出點E的坐標．

解：（1）∵，

∴

解得：

∴AO=3，BO=6

∴點A的坐標為（3,0），點B的坐標為（0,6）；

（2）①BG⊥y軸，理由如下

∵點為中點

∴BD=AD

在△BDG和△ADF中

∴△BDG≌△ADF

∴∠G=∠AFD

∴BG∥AF

∴∠GBO=180°－∠AOB=90°

∴BG⊥y軸；

②過點D作DM⊥x軸于M

∵點為中點

∴點D的坐標為（）=（）

∴OM=，DM=3

∵平分

∴∠COA=

∵

∴∠MFD=∠COA=45°

∴△FMD為等腰三角形，FM=DM=3

∴OF=FM－OM=；

（3）存在，

過點F作FG⊥y軸于G，過點P作PH⊥y軸于H

若為等腰直角三角形，必有EF=PE，∠FEP=90°

∴∠GFE＋∠GEF=90°，∠HEP＋∠GEF=90°

∴∠GFE=∠HEP

在△GFE和△HEP中

∴△GFE≌△HEP

∴FG=EH，GE=PH

∵點的坐標為，點的坐標為

∴OG=10，PH=6

∴GE=6

∴OE=OG－GE=4

∴點E的坐標為（0,4）．