Question

【題目】如圖1，△ABC、△DCE均為等邊三角形，當(dāng)B、C、E三點在同一條直線上時，連接BD、AE交于點F，易證：△ACE≌△BCD.聰明的小明將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)了一些不變的結(jié)論，讓我們一起開啟小明的探索之旅！

（探究一）如圖2，當(dāng)B、C、E三點不在同一條直線上時，小明發(fā)現(xiàn)∠BFE的大小沒有發(fā)生變化，請你幫他求出∠BFE的度數(shù)．

（探究二）閱讀材料：在平時的練習(xí)中，我們曾探究得到這樣一個正確的結(jié)論：兩個全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等.例如：如圖3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分別是△ABC、△A’B’C’的邊BC、B’C’上的高，那么容易證明AD=A’D’.小明帶著這樣的思考又有了新的發(fā)現(xiàn)：如圖4，若連接CF，則CF平分∠BFE，請你幫他說明理由．

（探究三）在探究二的基礎(chǔ)上，小明又進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，線段AF、BF、CF之間還存在一定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）CF平分∠BFE （3）BF=AF+CF

【解析】

探究一：先證明，得出，又根據(jù)對頂角相等，得出，最后得出，得出.

探究二：過點C作，，垂足分別為M、N，可證，根據(jù)，，可得CF平分∠BFE.

探究三：在AB上取一點H，使得，先證，得到，根據(jù)探究一、二，得：，為等邊三角形，得到BF=BH+HF=AF+CF，即BF=AF+CF.

（1）解：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形

∴AC=BC，CD=CE，

∠ACB=∠DCE=60°

∴∠BCD=∠ACE

在△BCD和△ACE中，

∴

∴

又∵

∴

∴

（2）過點C作，，垂足分別為M、N，由探究一得：

∴

又∵，

∴CF平分∠BFE.

（3）在AB上取一點H，使得

由得：

∠CAE=∠CBD

在△BCH和△ACF中，

∴

∴

由探究一、二，得：

∴為等邊三角形

∴CF=CH=CF

∴BF=BH+HF=AF+CF

即BF=AF+CF.