【題目】(2016貴州省畢節(jié)市第25題)閱讀:我們約定,在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線,叫該點(diǎn)的特征線.例如,點(diǎn)M(1,3)的特征線有:x=1,y=3,y=x+2,y=x+4.

問題與探究:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC,點(diǎn)B在第一象限,A、C分別在x軸和y軸上,拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn),頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部.

(1)直接寫出點(diǎn)D(m,n)所有的特征線;

(2)若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1,求此拋物線的解析式;

(3)點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn),連接OP,將OAP沿著OP折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A的位置,當(dāng)點(diǎn)A在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí),滿足(2)中條件的拋物線向下平移多少距離,其頂點(diǎn)落在OP上?

【答案】(1)、x=m,y=n,y=x+nm,y=x+m+n;(2)、y=(x2)2+3;(3)、

【解析】

試題分析:(1)、根據(jù)特征線直接求出點(diǎn)D的特征線;(2)、由點(diǎn)D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),從而求出拋物線解析式;(3)、分平行于x軸和y軸兩種情況,由折疊的性質(zhì)計(jì)算即可.

試題解析:(1)、點(diǎn)D(m,n), 點(diǎn)D(m,n)的特征線是x=m,y=n,y=x+nm,y=x+m+n;

(2)、點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1, nm=1, n=m+1

拋物線解析式為 y=(xm)2+m+1,

四邊形OABC是正方形,且D點(diǎn)為正方形的對(duì)稱軸,D(m,n), B(2m,2m),

(2mm)2+n=2m,將n=m+1帶入得到m=2,n=3; D(2,3), 拋物線解析式為y=(x2)2+3

(3)、如圖,當(dāng)點(diǎn)A在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線時(shí),

根據(jù)題意可得,D(2,3), OA=OA=4,OM=2, ∴∠AOM=60° ∴∠AOP=AOP=30°,

MN==, 拋物線需要向下平移的距離=3=

當(dāng)點(diǎn)A在平行于x軸的D點(diǎn)的特征線時(shí),

頂點(diǎn)落在OP上, A與D重合, A(2,3), 設(shè)P(4,c)(c>0),

由折疊有,PD=PA, =c, c=, P(4, 直線OP解析式為y=,

N(2,), 拋物線需要向下平移的距離=3=,

拋物線向下平移距離,其頂點(diǎn)落在OP上.

考點(diǎn)(1)、折疊的性質(zhì);(2)、正方形的性質(zhì);(3)、特征線的理解

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