【題目】如圖,以x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A,點B(﹣1,0),與y軸交于點C(0,4),作直線AC.
(1)求拋物線解析式;
(2)點P在拋物線的對稱軸上,且到直線AC和x軸的距離相等,設點P的縱坐標為m,求m的值;
(3)點M在y軸上且位于點C上方,點N在直線AC上,點Q為第一象限內(nèi)拋物線上一點,若以點C、M、N、Q為頂點的四邊形是菱形,請直接寫出點Q的坐標.
【答案】
(1)
解:∵點A與點B(﹣1,0)關(guān)于直線x=1對稱,
∴A(3,0),
設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
把C(0,4)代入得a1(﹣3)=4,解得a=﹣ ,
∴拋物線解析式為y=﹣ (x+1)(x﹣3),即y=﹣ x2+ x+4;
(2)
解:設直線AC的解析式為y=kx+p,
把A(3,0),C(0,4)代入得 ,解得 ,
∴直線AC的解析式為y=﹣ x+4;
令對稱軸與直線AC交于點D,與x軸交于點E,作PH⊥AD于H,如圖1,
當x=1時,y=﹣ x+4= ,則D(1, ),
∴DE= ,
在Rt△ADE中,AD= = ,
設P(1,m),則PD= ﹣m,PH=PE=|m|,
∵∠PDH=∠ADE,
∴△DPH∽△DAE,
∴ = ,即 = ,解得m=1或m=﹣4,
即m的值為1或﹣4;
(3)
解:設Q(t,﹣ t2+ t+4)(0<t<4),
當CM為對角線時,四邊形CQMN為菱形,如圖2,則點N和Q關(guān)于y軸對稱,
∴N(﹣t,﹣ t2+ t+4),
把N(﹣t,﹣ t2+ /span> t+4)代入y=﹣ x+4得 t+4=﹣ t2+ t+4,解得t1=0(舍去),t2=1,此時Q點坐標為(1, );
當CM為菱形的邊時,四邊形CNQM為菱形,如圖3,則NQ∥y軸,NQ=NC,
∴N(t,﹣ t+4),
∴NQ=﹣ t2+ t+4﹣(﹣ t+4)=﹣ t2+4t,
而CN2=t2+(﹣ t+4﹣4)2= t2,即CN= t,
∴﹣ t2+4t= t,解得t1=0(舍去),t2= ,此時Q點坐標為( , ),
綜上所述,點Q的坐標為(1, )或( , ).
【解析】(1)先利用拋物線的對稱性得到A(3,0),則可設交點式y(tǒng)=a(x+1)(x﹣3),然后把C點坐標代入求出a即可;(2)先利用待定系數(shù)法其出直線AC的解析式為y=﹣ x+4;令對稱軸與直線AC交于點D,與x軸交于點E,作PH⊥AD于H,如圖1,易得D(1, ),利用勾股定理計算出AD= ,設P(1,m),則PD= ﹣m,PH=PE=|m|,證明△DPH∽△DAE,利用相似比得到 = ,然后解方程可得到m的值;(3)設Q(t,﹣ t2+ t+4)(0<t<4),討論:當CM為對角線時,四邊形CQMN為菱形,如圖2,根據(jù)菱形的性質(zhì)判定點N和Q關(guān)于y軸對稱,則N(﹣t,﹣ t2+ t+4),然后
把N(﹣t,﹣ t2+ t+4)代入y=﹣ x+4得t的方程,從而解方程求出t得到此時Q點坐標;當CM為菱形的邊時,四邊形CNQM為菱形,如圖3,利用菱形的性質(zhì)得NQ∥y軸,NQ=NC,則N(t,﹣ t+4),所以NQ=﹣ t2+4t,再根據(jù)兩點間的距離公式計算出CN= t,所以﹣ t2+4t= t,從而解方程求出t得到此時Q點坐標.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市文化宮學習十九大有關(guān)優(yōu)先發(fā)展教育的精神,舉辦了為某貧困山區(qū)小學捐贈書包活動.首次用2000元在商店購進一批學生書包,活動進行后發(fā)現(xiàn)書包數(shù)量不夠,又購進第二批同樣的書包,所購數(shù)量是第一批數(shù)量的3倍,但單價貴了4元,結(jié)果第二批用了6300元.
(1)求文化官第一批購進書包的單價是多少?
(2)商店兩批書包每個的進價分別是68元和70元,這兩批書包全部售給文化宮后,商店共盈利多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸,物體甲和物體乙分別由點A(2,0)同時出發(fā),沿矩形BCDE的邊作環(huán)繞運動,物體甲按逆時針方向以1個單位/秒勻速運動,物體乙按順時針方向以2個單位/秒勻速運動,則兩個物體運動后的第2012次相遇地點的坐標是【 】
A.(2,0) B.(-1,1) C.(-2,1) D.(-1,-1)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是半徑為2的⊙O的內(nèi)接三角形,連接OA、OB,點D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點.
(1)試判斷四邊形DEFG的形狀,并說明理由;
(2)填空: ①若AB=3,當CA=CB時,四邊形DEFG的面積是;
②若AB=2,當∠CAB的度數(shù)為時,四邊形DEFG是正方形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,點D為△ABC邊BC的延長線上一點.
(1)若∠A∶∠ABC=3∶4,∠ACD=140°,求∠A的度數(shù);
(2)若∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點M,過點C作CP⊥BM于點P.
求證: ;
(3)在(2)的條件下,將△MBC以直線BC為對稱軸翻折得到△NBC,∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點Q(如圖2),試探究∠BQC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請寫出你的猜想并證明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了拉動內(nèi)需,全國各地汽車購置稅補貼活動正式開始.重慶長安汽車經(jīng)銷商在出臺前一個月共售出長安SUV汽車CS35的手動型和自動型共960臺,政策出臺后的第一月售出這兩種型號的汽車共1228臺,其中手動型和自動型汽車的銷售量分別比政策出臺前一個月增長30%和25%.
(1)在政策出臺前一個月,銷售的手動型和自動型汽車分別為多少臺?
(2)若手動型汽車每臺價格為8萬元,自動型汽車每臺價格為9萬元.根據(jù)汽車補貼政策,政府按每臺汽車價格的5%給購買汽車的用戶補貼,購車人需要交納車輛購置各種稅費雜費路橋保險等為每臺汽車價格的22%,問政策出臺后的第一個月,政府對這l228臺汽車用戶共補貼了多少萬元?客戶實際需要花多少錢才能夠買一輛自動型的CS35汽車?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】計算下列各題:(用簡便方法計算)
(1)-102n×100×(-10)2n-1; (2)[(-a)(-b)2a2b3c]2;
(3)(x3)2÷x2÷x+x3÷(-x)2(-x2); (4)(-9)3×( -)3
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB、CD相交于點O,OE把分成兩部分;
(1)直接寫出圖中的對頂角為 ,的鄰補角為 ;
(2)若,且,求的度數(shù).
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