【題目】如圖1,點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長線上一點(diǎn).
(1)若∠A∶∠ABC=3∶4,∠ACD=140°,求∠A的度數(shù);
(2)若∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CP⊥BM于點(diǎn)P.
求證: ;
(3)在(2)的條件下,將△MBC以直線BC為對稱軸翻折得到△NBC,∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q(如圖2),試探究∠BQC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請寫出你的猜想并證明.
【答案】(1)60°°;
(2)證明見解析;
(3)∠BQC=90°+ ∠A,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)∠A:∠ABC=3:4,設(shè)∠A=3k,∠ABC=4k,再由三角形外角的性質(zhì)求出k的值,進(jìn)而可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠M=∠MCD-∠MBC,∠A=∠ACD-∠ABC.再由MC、MB分別平分∠ACD、∠ABC得出 , ,
故,根據(jù)CP⊥BM即可得出結(jié)論;
(3)根據(jù)BQ平分∠CBN,CQ平分∠BCN可知 , ,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知, ,根據(jù)軸對稱性質(zhì)知:
∠M=∠N,由此可得出結(jié)論.
(1)解:∵,∴可設(shè).
又∵ °,
∴°,
解得 °.
∴°.
(2)證明:
(3)猜想∠BQC=90°+ ∠A.
證明如下: ∵BQ平分∠CBN,CQ平分∠BCN,
∴,
∴
.
由(2)知: ,又由軸對稱性質(zhì)知:∠M=∠N,
∴.
本題考查了三角形的內(nèi)角和,三角形外角的性質(zhì),折疊的性質(zhì).(1)見比設(shè)參,然后根據(jù)外角的性質(zhì)求解;(2)結(jié)合角平分線和外角的性質(zhì)求解;(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和(2)的結(jié)論求解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)A(1.O),點(diǎn)A第一次跳動至點(diǎn)A1(-1,1).第四次向右跳動5個單位至點(diǎn)A4(3,2),…,依此規(guī)律跳動下去,點(diǎn)A第100次跳動至點(diǎn)A100的坐標(biāo)是( )
A. (50,49) B. (51, 49) C. (50, 50) D. (51, 50)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,△ABC與△CDE是等腰直角三角形,直角邊AC、CD在同一條直線上,點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),連接AE、BD.
(1)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,請直接寫出結(jié)論;
(2)現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),得到圖②,AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H.請判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
(3)若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如圖③,寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形ABCD中,AB=8,AD=4.點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時從點(diǎn)A出發(fā),點(diǎn)Q以每秒1個單位的速度沿A→D→C→B的方向運(yùn)動,點(diǎn)P以每秒3個單位的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動,當(dāng)P,Q兩點(diǎn)相遇時,它們同時停止運(yùn)動.設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動的時間為x(秒),在整個運(yùn)動過程中,當(dāng)△APQ為直角三角形時,則相應(yīng)的x的值或取值范圍是_______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,即=,也就是說,表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離;這個結(jié)論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離;
例1.解方程||=2.因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為,所以方程||=2的解為.
例2.解不等式|-1|>2.在數(shù)軸上找出|-1|=2的解(如圖),因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為-1或3,所以方程|-1|=2的解為=-1或=3,因此不等式|-1|>2的解集為<-1或>3.
例3.解方程|-1|+|+2|=5.由絕對值的幾何意義知,該方程就是求在數(shù)軸上到1和-2對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于5的點(diǎn)對應(yīng)的的值.因?yàn)樵跀?shù)軸上1和-2對應(yīng)的點(diǎn)的距離為3(如圖),滿足方程的對應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊或-2的左邊.若對應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊,可得=2;若對應(yīng)的點(diǎn)在-2的左邊,可得=-3,因此方程|-1|+|+2|=5的解是=2或=-3.
參考閱讀材料,解答下列問題:
(1)方程|+3|=4的解為 ;
(2)解不等式:|-3|≥5;
(3)解不等式:|-3|+|+4|≥9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(﹣1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),作直線AC.
(1)求拋物線解析式;
(2)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上,且到直線AC和x軸的距離相等,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m,求m的值;
(3)點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方,點(diǎn)N在直線AC上,點(diǎn)Q為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),若以點(diǎn)C、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,過點(diǎn)D作EF∥BC,與AB、AC分別相交于E、F,若已知AB=9,AC=7,求△AEF的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】首條貫通絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶的高鐵線﹣寶蘭客專進(jìn)入全線拉通試驗(yàn)階段,寶蘭客專的通車對加快西北地區(qū)與“一帶一路”沿線國家和地區(qū)的經(jīng)貿(mào)合作、人文交流具有十分重要的意義.試運(yùn)行期間,一列動車從西安開往西寧,一列普通列車從西寧開往西安,兩車同時出發(fā),設(shè)普通列車行駛的時間為x(小時),兩車之間的距離為y(千米),圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象進(jìn)行一下探究:
【信息讀取】
(1)西寧到西安兩地相距 千米,兩車出發(fā)后 小時相遇;
(2)普通列車到達(dá)終點(diǎn)共需 小時,普通列車的速度是 千米/小時.
【解決問題】
(3)求動車的速度;
(4)普通列車行駛t小時后,動車到達(dá)終點(diǎn)西寧,求此時普通列車還需行駛多少千米到達(dá)西安?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF.
(1)求證:四邊形EFCD是平行四邊形;
(2)若BF=EF,求證:AE=AD.
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