Question

【題目】如圖，⊙P與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），與x軸相交于點(diǎn)A（5，0），過點(diǎn)A的直線AB與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，與⊙P交于點(diǎn)C．
（1）已知AC=3，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若AC=a，D是OB的中點(diǎn)．問：點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)是否在同一圓上？請(qǐng)說明理由．如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個(gè)圓的圓心為O1 ， 函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)O1 ， 求k的值（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法一：連接OC，

∵OA是⊙P的直徑，

∴OC⊥AB，

在Rt△AOC中， ，

在Rt△AOC和Rt△ABO中，

∵∠CAO=∠OAB

∴Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，

∴ ，即 ，

∴ ，

∴

解法二：連接OC，因?yàn)镺A是⊙P的直徑，

∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，

∴OC=4，

過C作CE⊥OA于點(diǎn)E，則： ，

即： ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

設(shè)經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y=kx+b．

把點(diǎn)A（5，0）、 代入上式得： ，

解得： ，

∴ ，

∴點(diǎn)

（2）解：點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，理由如下：

連接CP、CD、DP，

∵OC⊥AB，D為OB上的中點(diǎn)，

∴ ，

∴∠3=∠4，

又∵OP=CP，

∴∠1=∠2，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，

∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，

∴PD上的中點(diǎn)到點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)的距離相等，

∴點(diǎn)O、P、C、D在以DP為直徑的同一個(gè)圓上；

由上可知，經(jīng)過點(diǎn)O、P、C、D的圓心O1是DP的中點(diǎn)，圓心 ，

由（1）知：Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，

∴ ，

求得：AB= ，在Rt△ABO中， ，

OD= ，

∴ ，點(diǎn)O1在函數(shù) 的圖象上，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）此題有兩種解法： 解法一：連接OC，根據(jù)OA是⊙P的直徑，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求證Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，利用其對(duì)應(yīng)變成比例求得OB即可；
解法二：連接OC，根據(jù)OA是⊙P的直徑，可得∠ACO=90°，利用勾股定理求得OC，過C作CE⊥OA于點(diǎn)E，分別求得CE、0E，設(shè)經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y=kx+b．把點(diǎn)A（5，0）、 代入上式解得即可．（2）連接CP、CD、DP，根據(jù)OC⊥AB，D為OB上的中點(diǎn)，可得 ，求證Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，可得PD上的中點(diǎn)到點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)的距離相等，由上可知，經(jīng)過點(diǎn)O、P、C、D的圓心O1是DP的中點(diǎn)，圓心 ，由（1）知：Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，可得 ，求得：AB、OD即可．
【考點(diǎn)精析】掌握直角三角形斜邊上的中線和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．