【題目】如圖,一次函數(shù)的函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作RtABC,且使ABC=30°;

(1)如果點P(m,)在第二象限內(nèi),試用含m的代數(shù)式表示四邊形AOPB的面積,并求當(dāng)APB與ABC面積相等時m的值;

(2)如果QAB是等腰三角形并且點Q在坐標(biāo)軸上,請求出點Q所有可能的坐標(biāo);

(3)是否存在實數(shù)a,b使一次函數(shù)和y=ax+b的圖象關(guān)于直線y=x對稱?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)m=﹣;(2)Q的坐標(biāo)為(3,0)或(﹣1,0)或(0,﹣)或(0,+2)或(0,﹣2)或(0,);(3)見解析

【解析】

試題分析:(1)過點P作PDx軸于D,根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A、B的坐標(biāo),從而求出OA、OB,利用勾股定理列式求出AB,然后求出ABO=30°,再根據(jù)S四邊形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO列式整理即可得解;根據(jù)S△APB=S四邊形AOPB﹣S△AOP表示出APB的面積,再解直角三角形求出AC,然后求出ABC的面積,列出方程求解即可;

(2)分①點A是頂角頂點,AB是腰時,求出OQ的長度,②點B是頂角頂點,AB是腰時,求出OQ的長度,然后寫出點Q的坐標(biāo),③AB是底邊時,分點Q在y軸上和點Q在x軸上兩種情況,利用等邊三角形的性質(zhì)求解;

(3)求出A、B兩點關(guān)于直線y=x的對稱點的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出a、b,然后代入代數(shù)式進行計算即可得解.

解:(1)如圖,過點P作PDx軸于D,

點P(m,)在第二象限內(nèi),

PD=,OD=﹣m,

令y=0,則﹣x+=0,

解得x=1,

令x=0,則y=,

點A(1,0),B(0,),

OA=1,OB=,

由勾股定理得,AB===2,

∴∠ABO=30°,

S四邊形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO,

=×+)(﹣m)+×1××(﹣m)×,

=﹣m+,

四邊形AOPB的面積=﹣m+;

S△APB=S四邊形AOPB﹣S△AOP

=﹣m+×1×

=﹣m+,

∵∠ABC=30°,

AC=ABtan30°=2×=,

S△ABC=×2×=

∵△APB與ABC面積相等,

m+=,

解得m=﹣,

故,當(dāng)APB與ABC面積相等時,m=﹣;

(2)①點A是頂角頂點,AB是腰時,AQ=AB=2,

若點Q在x正半軸,則OQ=AO+AQ=1+2=3,

若點Q在x軸負半軸,則OQ=AQ﹣AO=2﹣1=1,

若點Q在y軸負半軸,則OQ=BO=

點Q的坐標(biāo)為(3,0)或(﹣1,0)或(0,﹣),

②點B是頂角頂點,AB是腰時,BQ=AB=2,

若點Q在y軸正半軸,則OQ=BO+BQ=+2,

若點Q在y軸負半軸,則OQ=BQ﹣BO=2﹣,

若點Q在x軸負半軸,則OQ=AO=1,

點Q的坐標(biāo)為(0,+2)或(0,﹣2)或(﹣1,0);

③AB是底邊時,若點Q在y軸上,則OQ=OAtan30°=1×=,

若點Q在x軸上,則OQ=AO=1,

點Q的坐標(biāo)為(0,)或(﹣1,0),

綜上所述,QAB是等腰三角形時,坐標(biāo)軸上點Q的坐標(biāo)為(3,0)或(﹣1,0)或(0,﹣)或(0,+2)或(0,﹣2)或(0,);

(3)A(1,0)關(guān)于y=x的對稱點為(0,1),

B(0,)關(guān)于y=x的對稱點為(,0),

,

解得,

==,

=,

=

=﹣

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