Question

（2010•青浦區(qū)二模）如圖，直線OA與反比例函數(shù)的圖象交于點A（3，3），向下平移直線OA，與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，m）與y軸交于點C，
（1）求直線BC的解析式；
（2）求經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)圖象的頂點為D，對稱軸與x軸的交點為E．
問：在二次函數(shù)的對稱軸上是否存在一點P，使以O(shè)、E、P為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)，即可確定直線OA以及反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)所得反比例函數(shù)解析式即可確定點B的坐標(biāo)，而OA、BC平行，那么它們的斜率相同，由此可確定直線BC的解析式；
（2）根據(jù)直線BC的解析式可求得C點坐標(biāo)，然后可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式；
（3）根據(jù)（2）所得拋物線的解析式，可求得頂點D的坐標(biāo)，即可得到BD、BC、CD的長，利用勾股定理逆定理即可判定△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，根據(jù)拋物線對稱軸方程可得到E點坐標(biāo)，進而可求得OE的長，若以O(shè)、E、P為頂點的三角形與△BCD相似，已知∠BDC=∠PEO=90°，那么有兩種情況需要考慮：
①△PEO∽△BDC，②△OEP∽△BDC．
根據(jù)上面兩組不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可得到PE的長，進而求出P點的坐標(biāo)．（需要注意的是P點可能在E點上方也可能在E點下方）
解答：解：（1）由直線OA與反比例函數(shù)的圖象交于點A（3，3），
得直線OA為：y=x，雙曲線為：，
點B（6，m）代入得，點B（6，），（1分）
設(shè)直線BC的解析式為y=x+b，由直線BC經(jīng)過點B，
將x=6，，代入y=x+b得：，（1分）
所以，直線BC的解析式為；（1分）

（2）由直線得點C（0，），
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式為
將A、B兩點的坐標(biāo)代入，得：
，（1分）
解得（1分）
所以，拋物線的解析式為；（1分）

（3）存在．
把配方得，
所以得點D（4，），對稱軸為直線x=4（1分）
得對稱軸與x軸交點的坐標(biāo)為E（4，0）．（1分）
由BD=，BC=，CD=，得CD²=BC²+BD²，所以，∠DBC=90°（1分）
又∠PEO=90°，若以O(shè)、E、P為頂點的三角形與△BCD相似，則有：
①，即，得，有P₁（4，），P₂（4，）
②，即，得PE=12，有P₃（4，12），P₄（4，-12）（3分）
所以，點P的坐標(biāo)為（4，），（4，），（4，12），（4，-12）．
點評：此題考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)意義、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．要注意的是（3）題中，在相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不確定的情況下需要分類討論，以免漏解．