【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,∠DAB被對(duì)角線AC平分,且AC2=ABAD.我們稱該四邊形為“可分四邊形”,∠DAB稱為“可分角”.

(1)如圖2,在四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且∠BCD=150°,求證:四邊形ABCD為“可分四邊形”;
(2)如圖3,四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,如果∠DCB=∠DAB,則求∠DAB的度數(shù);
(3)現(xiàn)有四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,且AC=4,則△DAB的最大面積等于

【答案】
(1)

證明:∵∠DAB=60°,AC平分∠DAB,

∴∠DAC=∠CAB=30°,

∴∠D+∠ACD=180°﹣30°=150°,

∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°,

∴∠D=∠ACB,

∴△ADC∽△ACB.

∴AD:AC=AC:AB,

∴AC2=ABAD,

∴四邊形ABCD為“可分四邊形”


(2)

解:∵AC平分∠DAB,

∴∠DAC=∠BAC,

∵AC2=ABAD,

∴AD:AC=AC:AB,

∴△ADC∽△ACB,

∴∠D=∠ACB,

∵∠DCB=∠DAB,

∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=2∠DAC,

∵∠DAC+∠D+∠ACB=180°,

∴∠DAC+2∠DAC=180°,

解得:∠DAC=60°,

∴∠DAB=120°


(3)8
【解析】(3)∵四邊形ABCD為“可分四邊形”,AC=4,
∴ABAD=AC2=16,
當(dāng)DA⊥DB時(shí),△DAB的最大,最大面積為8,
故答案為:8.
(1)由已知得出∠DAC=∠CAB=30°,由三角形內(nèi)角和定理得出∠D+∠ACD=150°,由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°,得出∠D=∠ACB,證明△ADC∽△ACB.得出對(duì)應(yīng)邊成比例,得出AC2=ABAD,即可得出結(jié)論;(2)由已知條件可證得△ADC∽△ACB,得出D=∠ACB,再由已知條件和三角形內(nèi)角和定理得出∠DAC+2∠DAC=180°,求出∠DA=60°,即可得出∠DAB的度數(shù);(3)根據(jù)“可分四邊形”的定義求出ABAD,計(jì)算即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,CD為⊙O的直徑,弦AB垂直于CD,垂足為H,∠EAD=∠HAD.
(1)求證:AE為⊙O的切線;
(2)延長(zhǎng)AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,過D 作DE⊥AP,垂足為E,已知PA=2,PD=1,求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng).

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【題目】問題背景:
如圖①,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.
小吳同學(xué)探究此問題的思路是:將△BCD繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)A,E處(如圖②),易證點(diǎn)C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,從而得出結(jié)論:AC+BC= CD.
簡(jiǎn)單應(yīng)用:

(1)在圖①中,若AC= ,BC=2 ,則CD=
(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙上, = ,若AB=13,BC=12,求CD的長(zhǎng).
拓展規(guī)律:
(3)如圖④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的長(zhǎng)(用含m,n的代數(shù)式表示)
(4)如圖⑤,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),若點(diǎn)E滿足AE= AC,CE=CA,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn),則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是

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【題目】如圖,等邊ABC的邊長(zhǎng)為10cm,點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿BC的延長(zhǎng)線以2cm/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),若BDP是等腰三角形,求t的值.

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【題目】某企業(yè)生成一種節(jié)能產(chǎn)品,投放市場(chǎng)供不應(yīng)求.若該企業(yè)每月的產(chǎn)量保持在一定的范圍,每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬(wàn)元,每套產(chǎn)品的售價(jià)不低于120萬(wàn)元.已知這種產(chǎn)品的月產(chǎn)量x(套)與每套的售價(jià)y1(萬(wàn)元)之間滿足關(guān)系式y(tǒng)1=190﹣2x.月產(chǎn)量x(套)與生成總成本y2(萬(wàn)元)存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系.

(1)直接寫出y2(2)與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求月產(chǎn)量x的取值范圍;
(3)當(dāng)月產(chǎn)量x(套)為多少時(shí),這種產(chǎn)品的利潤(rùn)W(萬(wàn)元)最大?最大利潤(rùn)是多少?

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【題目】2017420日,成都舉行了建城市森林,享低碳生活的垃圾分類推進(jìn)工作啟動(dòng)儀式,在成都設(shè)置有專門的垃圾存放點(diǎn),做到日產(chǎn)日清。在平面直角坐標(biāo)系中xOy,A,B,C三個(gè)垃圾存放點(diǎn)的位置如圖1所示,點(diǎn)A在原點(diǎn),,.某同學(xué)利用周末時(shí)間調(diào)查了這三個(gè)存放點(diǎn)的垃圾量,并繪制了如下尚不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖(如圖2)。

(1)若C處的垃圾存放量為320千克,求A處的垃圾存放量。

(2)現(xiàn)需要A,C兩處的垃圾分別沿道路AB,CB都運(yùn)到B處,若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為50,平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)單位長(zhǎng)度所表示的實(shí)際距離是1米,每運(yùn)送1千克垃圾1米的費(fèi)用為0.005元,求本次運(yùn)送垃圾的總費(fèi)用。(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):

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【題目】林華在2018年共兩次到某商場(chǎng)按照標(biāo)價(jià)購(gòu)買了A,B兩種商品,其購(gòu)買情況如下表:

購(gòu)買A商品的數(shù)量(個(gè)

購(gòu)買B商品的數(shù)量(個(gè)

購(gòu)買兩種商品的總費(fèi)用(元)

第一次購(gòu)買

6

5

1140

第二次購(gòu)買

3

7

1110

(1)分別求出A、B兩種商品的標(biāo)價(jià)。

(2)最近商場(chǎng)實(shí)行2019新春的促銷活動(dòng),A,B兩種商品都打折且折扣數(shù)相同,于是林華前往商場(chǎng)花1062元又購(gòu)買了9個(gè)A商品和8個(gè)B商品,試問本次促銷活動(dòng)中A,B商品的折扣數(shù)都為多少?在本次購(gòu)買中,林華共節(jié)約了多少錢?

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【題目】某房產(chǎn)開發(fā)公司對(duì)一幢住宅樓的標(biāo)價(jià)是:基價(jià)2580/平方米,樓層差價(jià)如下表:

老王買了面積為80平方米的三樓.

1)問老王花了多少錢?

2)若他用同樣多的錢去買六樓,請(qǐng)你幫老王算一算他可以多買多少平方米的房子?

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【題目】問題情景:
如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B為二次函數(shù)y=ax2(a>0)圖象上的兩點(diǎn),且點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為m、n(m>n>0),連接OA、AB、OB.設(shè)△AOB的面積為S時(shí),解答下列問題:

(1)探究:當(dāng)a=1時(shí),

mn

m﹣n

S

m=3,n=1

3

2

m=5,n=2

10

3

當(dāng)a=2時(shí),

2mn

m﹣n

S

m=3,n=1

6

2

m=5,n=2

20

3


(2)歸納證明:對(duì)任意m、n(m>n>0),猜想S=(用a,m,n表示),并證明你的猜想.
(3)拓展應(yīng)用:
若點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為m、n(m>0>n),其它條件不變時(shí),△AOB的面積S=(用a,m,n表示).

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