Question

20．如圖，已知函數(shù)y=x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（0，-1），并且與x軸以及y=x+1的圖象分別交于點(diǎn)C、D．
（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，求A點(diǎn)、D點(diǎn)、C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在第（1）小題的條件下，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；
（3）在第（1）小題的條件下，在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)D在直線y=x+1上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為為1即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線y=kx+b即可求出A點(diǎn)、B點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD即可求出．
（3）分B、D、P為頂點(diǎn)三種情形即可求出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D在直線y=x+1上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，
∴D（1，2），
∵直線y=kx+b經(jīng)過D（1，2），B（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴y=3x-1，
∴A（0，1），C（$\frac{1}{3}$，0），D（1，2）．
（2）S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{5}{6}$．
（3）∵BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴①當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，BP=BD時(shí)，P（0，$\sqrt{10}-1$）或（0，-1-$\sqrt{10}$），
②當(dāng)D為頂點(diǎn)時(shí)，DP=DB，P（0，5），
③當(dāng)P為頂點(diǎn)時(shí)，PD=PB，BD的中點(diǎn)為E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
設(shè)過點(diǎn)E垂直BD的直線為y=-$\frac{1}{3}$x+b′點(diǎn)E代入得到b=$\frac{2}{3}$，
∴直線為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)P為（0，$\frac{2}{3}$）．
綜上所述點(diǎn)$P（0，5），（0，\sqrt{10}-1），（0，-\sqrt{10}-1），（0，\frac{2}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的求法、坐標(biāo)系中四邊形面積的求法、等腰三角形等有關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)用分割法求面積，求點(diǎn)P坐標(biāo)時(shí)需要分類討論，不能漏解．