Question

8．如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是高，點(diǎn)E是AB上一動(dòng)點(diǎn)，過E作EF∥BC交AC于F，交AD于H，設(shè)AE=x，AH=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖2，將△AEF沿EF翻，點(diǎn)A落在射線AD上的點(diǎn)A′
①是否存在這樣的x值，使CA′⊥AB？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．
②探索當(dāng)x為何值時(shí)，A′DE為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠ABC=α，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理求出AD=4，得出sinα=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，在Rt△AHE中，由sinα=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{y}{x}$，即可得出結(jié)果；
（2）①證明B、D、A′、G四點(diǎn)共圓，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠AA′G=∠ABC=α，由三角函數(shù)求出BG=$\frac{18}{5}$，得出AG=AB-BG=$\frac{7}{5}$，AA′=$\frac{7}{4}$，由折疊的性質(zhì)得出AH=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{7}{8}$，由三角函數(shù)即可得出結(jié)果；
②分兩種情況：當(dāng)A′在AD上時(shí)，由題意得出A′E=A′D，由折疊的性質(zhì)得出AH=A′H，H是EF的中點(diǎn)，證出四邊形AEA′F是菱形，得出A′D=x，由AD=AA+A′D，得出方程，解方程即可；當(dāng)A′在AD的延長線上時(shí)，根據(jù)題意得出DE=DA′，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）設(shè)∠ABC=α，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=α，
∵AB=AC，AD是高，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴sinα=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△AHE中，sinα=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{y}{x}$，即$\frac{4}{5}$=$\frac{y}{x}$，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\frac{4}{5}$x；
（2）①存在，x=$\frac{35}{32}$；理由如下：如圖1所示：
∵CA′⊥AB，AD⊥BC，
∴∠BGA′+∠BDA′=90°+90°=180°，
∴B、D、A′、G四點(diǎn)共圓，
∴∠AA′G=∠ABC=α，BG=BC•cosα=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$，AG=AB-BG=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$，AA′=$\frac{AG}{sinα}$=$\frac{\frac{7}{5}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{7}{4}$，
∵△AEF沿EF翻，點(diǎn)A落在射線AD上的點(diǎn)A′，
∴AH=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{4}$=$\frac{7}{8}$，
∴AE=$\frac{AH}{sinα}$=$\frac{\frac{7}{8}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{35}{32}$，
解得：x=$\frac{35}{32}$；
②分兩種情況：當(dāng)A′在AD上時(shí)，如圖2所示：
∵∠EA′D=90°+∠A′EF＞90°，
∴△A'DE為等腰三角形就一種可能，即A′E=A′D，
∵A′是沿EF翻折的，
∴AH=A'H，H是EF的中點(diǎn)，AH⊥EF，對(duì)角線互相垂直平分，
∴四邊形AEA'F是菱形，
∴A'D=x，AH=AE•sinα=$\frac{4}{5}$x，
∴y與x的關(guān)系式為：y=$\frac{4}{5}$x；
∴AD=AA+A′D，
∴AD=2AH+A′D，
即4=2×$\frac{4}{5}$x+x，
解得：x=$\frac{20}{13}$；
當(dāng)A'在AD的延長線上時(shí)，如圖3所示：
根據(jù)題意得：DE=DA′，
∵AD=4，AH=A′H=$\frac{4}{5}$x，
∴DE=DA′=$\frac{8}{5}x-4$，
∵EH=$\frac{3}{5}$x，
在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH²+DH²=DE²，
即（$\frac{3}{5}$x）²+（4-$\frac{4}{5}$x）²=（$\frac{8}{5}$x-4）²，
解得：x=$\frac{160}{39}$；
綜上所述：當(dāng)x為$\frac{20}{13}$或$\frac{160}{39}$時(shí)，A′DE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、四點(diǎn)共圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）②中，需要進(jìn)行分類討論，才能得出結(jié)果．