Question

【題目】.A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離的2倍，我們就稱點(diǎn)C是【A，B】的和諧點(diǎn).例如：圖1中，點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，點(diǎn)B表示的數(shù)為2。表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1.那么點(diǎn)C是【A，B】的和諧點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是2，那么點(diǎn)D就不是【A，B】的和諧點(diǎn)，但點(diǎn)D是【B，A】的和諧點(diǎn)

（1）若數(shù)軸上M，N兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為且滿足，請求

出【M，N】的和諧點(diǎn)表示的數(shù)；

（2）如圖2，A，B在數(shù)軸上表樂的數(shù)分別為-40和20，現(xiàn)有一點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)

①若點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A停止，則當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少個(gè)單位時(shí)P，A，B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的和諧點(diǎn)？

②若點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A后繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)，是否存在使得P，A，B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的和諧點(diǎn)的情況？若存在，請直接寫出此時(shí)PB的距離，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）由題意得出m=－2，n=4，設(shè)【M、N】的和諧點(diǎn)表示的數(shù)為x，根據(jù)和諧點(diǎn)的定義可列方程x－（－2）=2（4－x），解出x=2；（2）①分四種情況討論，1.P是【A、B】的和諧點(diǎn)；2.P是【B、A】是和諧點(diǎn)； 3.B是【A、P】的和諧點(diǎn)；4.A為【B、P】的和諧點(diǎn)，分別列出方程解出y，計(jì)算出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的單位即可；②分四種情況討論：1.當(dāng)點(diǎn)P是【B、A】的和諧點(diǎn)，2.當(dāng)點(diǎn)A是【P、B】的和諧點(diǎn)，3.當(dāng)點(diǎn)A是【B、P】的和諧點(diǎn)，4.當(dāng)點(diǎn)B是【P、A】的和諧點(diǎn)，分別計(jì)算出PB即可.

試題解析：

解：（1）由題意得：m=－2，n=4，

設(shè)【M、N】的和諧點(diǎn)表示的數(shù)為x，

∴x－（－2）=2（4－x），x=2.

∴【M、N】的和諧點(diǎn)表示的數(shù)為2；

（2）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為y，分四種情況：

1.P是【A、B】的和諧點(diǎn)，

由題意，得y－（－40）=2（20－y），

解得y=0，

20－0=20；

2.P是【B、A】是和諧點(diǎn)，

由題意，得20－y=2[y－（－40）]，

解得y=－20，

20－（－20）=40；

3.B是【A、P】的和諧點(diǎn)，

由題意，得20－（－40）=2（20－y），

解得y=－10，

20－（－10）=30；

4.A為【B、P】 的和諧點(diǎn)，

由題意，得20－（－40）=2[y－（－40）]，

解得y=－10，

20－（－10）=30.

綜上可知，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)20或40或30個(gè)單位時(shí)，P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的和諧點(diǎn).

（3）當(dāng)點(diǎn)P是【B、A】的和諧點(diǎn)，PB=120；

當(dāng)點(diǎn)A是【P、B】的和諧點(diǎn)，PB=180；

當(dāng)點(diǎn)A是【B、P】的和諧點(diǎn)，PB=90；

當(dāng)點(diǎn)B是【P、A】的和諧點(diǎn)，PB=120.

綜上，PB距離為80或120或180時(shí)，P、A、B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的和諧點(diǎn).