Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC的內切圓⊙O，切點分別為點D、E、F，

（1）若AC＝3，BC＝4，求△ABC的內切圓半徑；

（2）當AD＝5，BD＝7時，求△ABC的面積；

（3）當AD＝m，BD＝n時，直接寫出求△ABC的面積（用含m，n的式子表示）為　 　．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）35；（3）mn

【解析】

（1）連接OD、OE、OF，如圖，設⊙O的半徑為r，利用勾股定理計算出AB＝5，利用切線的性質和切線長定理得到OE⊥AC，OF⊥BC，CE＝CF，AE＝AD，BF＝BD，則四邊形CFOE為正方形，所以CE＝CF＝OE＝r，從而得3﹣r+4﹣r＝5，然后求出r即可；

（2）設⊙O的半徑為r，利用（1）中的結論得到AE＝AD＝5，BF＝BD＝7，AC＝5+r，BC＝7+r，再利用勾股定理得到（5+r）2+（7+r）2＝（5+7）2，求出r得到AC＝﹣1，BC＝+1，然后根據三角形面積公式求解；

（3）設⊙O的半徑為r，與（2）一樣得到AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，AC＝m+r，BC＝n+r，利用勾股定理得到（m+r）2+（n+r）2＝（m+n）2，解得r＝ 或r＝（舍去），所以AC＝），BC＝，然后利用勾股定理計算三角形的面積即可．

解：（1）連接OD、OE、OF，如圖，設⊙O的半徑為r，

在Rt△ABC中，AB＝＝5，

∵Rt△ABC的內切圓⊙O，切點分別為點D、E、F，

∴OE⊥AC，OF⊥BC，CE＝CF，AE＝AD，BF＝BD，

易得四邊形CFOE為正方形，

∴CE＝CF＝OE＝r，

∴AD＝AE＝3﹣r，BD＝BF＝4﹣r，

∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1，

即△ABC的內切圓半徑為1；

（2）設⊙O的半徑為r，

由（1）得AE＝AD＝5，BF＝BD＝7，

∴AC＝5+r，BC＝7+r，

在Rt△ABC中，（5+r）2+（7+r）2＝（5+7）2，解得r＝﹣6或r＝﹣6（舍去），

∴AC＝﹣6+5＝﹣1，BC＝﹣6+7＝+1，

∴S△ABC＝(﹣1)(+1）＝35；

（3）設⊙O的半徑為r，

由（1）得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，

∴AC＝m+r，BC＝n+r，

在Rt△ABC中，（m+r）2+（n+r）2＝（m+n）2，解得r＝或r＝（舍去），

∴AC＝，BC＝，

∴S△ABC＝×AC×BC＝＝．

故答案為mn．