Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的點(diǎn)，以AE為折痕折疊紙片，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】或9

【解析】

當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖1所示．連結(jié)AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC=15，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠B=90°，而當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，只能得到∠EFC=90°，所以點(diǎn) A、F、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，則EB=EF，AB=AF=9，可計(jì)算出CF=6，設(shè)BE=x，則EF=x，CE=12-x，然后在Rt△CEF中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．②當(dāng)點(diǎn)F落在AD邊上時(shí)，如圖2所示．此時(shí)四邊形ABEF為正方形，易得BE．

解：當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖1所示．

連結(jié)AC，

在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，

∴AC==15，

∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，

∴∠AFE=∠B=90°，

當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，只能得到∠EFC=90°，

∴點(diǎn)A、F、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，如圖，

∴EB=EF，AB=AF=9，

∴CF=15-9=6，

設(shè)BE=x，則EF=x，CE=12-x，

在Rt△CEF中，

∵EF2+CF2=CE2，

∴x2+62=（12-x）2，

解得x=，

∴BE=；

②當(dāng)點(diǎn)F落在AD邊上時(shí)，如圖2所示．

此時(shí)ABEF為正方形，

∴BE=AB=9．

綜上所述，BE的長(zhǎng)為或9．

故答案為或9．