Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F.

(1)探究線段OE與OF的數(shù)量關系并加以證明；

(2)當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？并說明理由；

(3)當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE可能是菱形嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】(1)OE=OF.證明見解析；（2）四邊形AECF是正方形；理由見解析；（3）四邊形BCFE不可能為菱形．理由見解析.

【解析】

試題（1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，易證得△OEC與△OFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；

（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O為AC的中點，同樣在△ABC中，當∠ACB=90°時，可滿足其為正方形；

（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．

試題解析：（1）OE=OF．理由如下：

∵CE是∠ACB的角平分線，

∴∠ACE=∠BCE，

又∵MN∥BC，

∴∠NEC=∠ECB，

∴∠NEC=∠ACE，

∴OE=OC，

∵OF是∠BCA的外角平分線，

∴∠OCF=∠FCD，

又∵MN∥BC，

∴∠OFC=∠ECD，

∴∠OFC=∠COF，

∴OF=OC，

∴OE=OF；

（2）當點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由如下：

∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，

又∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵FO=CO，

∴AO=CO=EO=FO，

∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，

∴四邊形AECF是矩形．

已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則

∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形；

（3）不可能．理由如下：如圖，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，

若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，

但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．

故答案為不可能．