Question

【題目】已知拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，對稱軸與直線BC交于點E，且CE ：BE=1 ：2，連接BD，作CF//AB交拋物線對稱軸于點H，交BD于點F．

（1）寫出A、B兩點的坐標(biāo)：A（ ， ），B（ ， ）

（2）若四邊形BEHF的面積為，求拋物線的函數(shù)表達式；

（3）在（2）的條件下，拋物線對稱軸上是否存在點M，使得∠CMF=∠CBF，若存在，請求出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）-1，0；3，0；（2）y=﹣x2 + 2x + 3 ；（3）

【解析】

（1）設(shè)對稱軸與x軸交于點G，根據(jù)CE：BE=1：2得出OG：BG=1:2，再結(jié)合對稱軸為直線x=1可得OG和BG的長，從而得到點B坐標(biāo)，再利用兩根之和得出點A坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線表達式為，得到點C和點D的坐標(biāo)，求出BD和BC的表達式得到E和F的坐標(biāo)，再利用S四邊形BEFH=S△BCF-S△CHE得到方程求出a的值即可；

（3）根據(jù)（2）得出B，C，F的坐標(biāo)，設(shè)△BCF的外接圓圓心為點P，根據(jù)題意設(shè)點P坐標(biāo)為（m，m），由PC2=PF2，列出方程求出m值，再根據(jù)M在拋物線對稱軸上，∠CMF=∠CBF，設(shè)M（1，n），根據(jù)PM2=PC2，列出方程求出n值即可得到結(jié)果.

解：（1）如圖，設(shè)對稱軸與x軸交于點G，

∵CE：BE=1：2，DG∥y軸，

可得OG：BG=1:2，

在拋物線中，

對稱軸為直線x=1，

∴OG=1，BG=2，

∴B（3，0），

則點A的橫坐標(biāo)為：2-3=-1，

則A（-1，0），

故答案為：A（-1，0）， B（3，0）；

（2）設(shè)，

得：C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），

∵B（3，0），設(shè)BD的表達式為：y=kx+b，將B和C代入，

，解得：，

∴BD的表達式為：，

∵CF//AB，

令y=-3a，解得x=，

∴，

同理可得：BC的表達式為：，

令x=1，則y=-2a，

∴E（1，-2a），

S四邊形BEFH=S△BCF-S△CHE==，

解得：a=﹣1，

∴y=﹣x2 + 2x + 3；

（3）由（2）可得：C（0，3），B（3，0），F（，3），

∵OB=OC，

設(shè)△BCF的外接圓圓心為點P，可知點P到點B的距離等于點P到點C的距離，

可知點P在直線y=x上，

∴設(shè)點P坐標(biāo)為（m，m），

∵PC2=PF2，

∴，

解得：m=，

∴P（，），

∵M在拋物線對稱軸上，∠CMF=∠CBF，

∴M在△BCF的外接圓上，

設(shè)M（1，n），

則有PM2=PC2，

∴，

解得n=（舍）或，
∴.