【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)的頂點為E,該拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且BO=OC=3AO,直線y=﹣ x+1與y軸交于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)證明:△DBO∽△EBC;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PBC是等腰三角形?若存在,請直接寫出符合條件的P點坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx﹣3,
∴c=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴OC=3,
∵BO=OC=3AO,
∴BO=3,AO=1,
∴B(3,0),A(﹣1,0),
∵該拋物線與x軸交于A、B兩點,
∴ ,
∴ ,
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3
(2)
證明:由(1)知,拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴E(1,﹣4),
∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),
∴BC=3 ,BE=2 ,CE= ,
∵直線y=﹣ x+1與y軸交于點D,
∴D(0,1),
∵B(3,0),
∴OD=1,OB=3,BD= ,
∴ , , ,
∴ ,
∴△BCE∽△BDO
(3)
解:存在,
理由:設(shè)P(1,m),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴BC=3 ,PB= ,PC= ,
∵△PBC是等腰三角形,
①當(dāng)PB=PC時,
∴ = ,
∴m=﹣1,
∴P(1,﹣1),
②當(dāng)PB=BC時,
∴3 = ,
∴m=± ,
∴P(1, )或P(1,﹣ ),
③當(dāng)PC=BC時,
∴3 = ,
∴m=﹣3± ,
∴P(1,﹣3+ )或P(1,﹣3﹣ ),
∴符合條件的P點坐標為P(1,﹣1)或P(1, )或P(1,﹣ )或P(1,﹣3+ )或P(1,﹣3﹣ )
【解析】(1)先求出點C的坐標,在由BO=OC=3AO,確定出點B,A的坐標,最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出點A,B,C,D,E的坐標,從而求出BC=3 ,BE=2 ,CE= ,OD=1,OB=3,BD= ,求出比值,得到 得出結(jié)論;(3)設(shè)出點P的坐標,表示出PB,PC,求出BC,分三種情況計算即可.此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了點的坐標的確定方法,兩點間的距離公式,待定系數(shù)法,等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定,解本題的關(guān)鍵是判斷△BCE∽△BDO.難點是分類.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,銳角三角形ABC中,BC>AB>AC,甲、乙兩人想找一點P,使得∠BPC與∠A互補,其作法分別如下:
(甲)以A為圓心,AC長為半徑畫弧交AB于P點,則P即為所求;
(乙)作過B點且與AB垂直的直線,作過C點且與AC垂直的直線,交于P點,則P即為所求.
對于甲、乙兩人的作法,下列敘述何者正確?( )
A. 兩人皆正確
B. 兩人皆錯誤
C. 甲正確,乙錯誤
D. 甲錯誤,乙正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在踐行“社會主義核心價值觀”演講比賽中,對名列前20名的選手的綜合分數(shù)m進行分組統(tǒng)計,結(jié)果如表所示:
組號 | 分組 | 頻數(shù) |
一 | 6≤m<7 | 2 |
二 | 7≤m<8 | 7 |
三 | 8≤m<9 | a |
四 | 9≤m≤10 | 2 |
(1)求a的值;
(2)若用扇形圖來描述,求分數(shù)在8≤m<9內(nèi)所對應(yīng)的扇形圖的圓心角大;
(3)將在第一組內(nèi)的兩名選手記為:A1、A2 , 在第四組內(nèi)的兩名選手記為:B1、B2 , 從第一組和第四組中隨機選取2名選手進行調(diào)研座談,求第一組至少有1名選手被選中的概率(用樹狀圖或列表法列出所有可能結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點D是BC的中點,連接AD,E,F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點.且DE=DF,連接BF,CE,下列說法中:①△ABD和△ACD的面積相等;②∠BAD=∠CAD;③BF∥CE;④CE=BF,其中,正確的說法有__________(填序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D是BC的中點,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)連接EF,求證:AD垂直平分EF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,動點Q從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度,沿AB向點B移動;同時點P從點B出發(fā),仍以每秒1個單位的速度,沿BC向點C移動,連接QP,QD,PD.若兩個點同時運動的時間為x秒(0<x≤3),解答下列問題:
(1)設(shè)△QPD的面積為S,用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S;當(dāng)x為何值時,S有最大值?并求出最小值;
(2)是否存在x的值,使得QP⊥DP?試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN,若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN,AM于點E,F(xiàn),AE和BF交于點P.如圖,點點同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線AM,BN交于點C;且∠ACB=60°時,有以下兩個結(jié)論:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,當(dāng)AM∥BN時:
(1)點點發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請求出∠APB的度數(shù),寫出AF,BE,AB長度之間的等量關(guān)系,并給予證明;
(2)設(shè)點Q為線段AE上一點,QB=5,若AF+BE=16,四邊形ABEF的面積為32 ,求AQ的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,△ABC是等邊三角形,BD⊥AC,E是BC延長線上的一點,且∠CED=30°.
(1)求證:DB=DE.
(2)在圖中過D作DF⊥BE交BE于F,若CF=3,求△ABC的周長.
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