【題目】在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度,沿AB向點(diǎn)B移動(dòng);同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),仍以每秒1個(gè)單位的速度,沿BC向點(diǎn)C移動(dòng),連接QP,QD,PD.若兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒(0<x≤3),解答下列問題:

(1)設(shè)△QPD的面積為S,用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S;當(dāng)x為何值時(shí),S有最大值?并求出最小值;
(2)是否存在x的值,使得QP⊥DP?試說明理由.

【答案】
(1)

解:∵四邊形ABCD為矩形,

∴BC=AD=4,CD=AB=3,

當(dāng)運(yùn)動(dòng)x秒時(shí),則AQ=x,BP=x,

∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x,CP=BC﹣BP=4﹣x,

∴SADQ= ADAQ= ×4x=2x,SBPQ= BQBP= (3﹣x)x= x﹣ x2,SPCD= PCCD= (4﹣x)3=6﹣ x,

又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12,

∴S=S矩形ABCD﹣SADQ﹣SBPQ﹣SPCD=12﹣2x﹣( x﹣ x2)﹣(6﹣ x)= x2﹣2x+6= (x﹣2)2+4,

即S= (x﹣2)2+4,

∴S為開口向上的二次函數(shù),且對(duì)稱軸為x=2,

∴當(dāng)0<x<2時(shí),S隨x的增大而減小,當(dāng)2<x≤3時(shí),S隨x的增大而增大,

又當(dāng)x=0時(shí),S=5,當(dāng)S=3時(shí),S= ,但x的范圍內(nèi)取不到x=0,

∴S不存在最大值,當(dāng)x=2時(shí),S有最小值,最小值為4


(2)

解:存在,理由如下:

由(1)可知BQ=3﹣x,BP=x,CP=4﹣x,

當(dāng)QP⊥DP時(shí),則∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC,

∴∠BPQ=∠PDC,且∠B=∠C,

∴△BPQ∽△PCD,

,即 ,解得x= (舍去)或x= ,

∴當(dāng)x= 時(shí)QP⊥DP


【解析】(1)可用x表示出AQ、BQ、BP、CP,從而可表示出SADQ、SBPQ、SPCD的面積,則可表示出S,再利用二次函數(shù)的增減性可求得是否有最大值,并能求得其最小值;(2)用x表示出BQ、BP、PC,當(dāng)QP⊥DP時(shí),可證明△BPQ∽△CDP,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程,可求得x的值.本題為四邊形的綜合應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定和性質(zhì)及方程思想等.在(1)中求得S關(guān)于x的關(guān)系式后,求S的最值時(shí)需要注意x的范圍,在(2)中證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),難度適中.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的最值和矩形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最值=(4ac-b2)/4a;矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),且CE=CD,過點(diǎn)E作EF⊥AC交AD于點(diǎn)F,連接BE.
(1)求證:DF=AE;
(2)當(dāng)AB=2時(shí),求BE2的值.

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【題目】某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量建筑物AB的高度.他們?cè)贑處仰望建筑物頂端,測(cè)得仰角為48°,再往建筑物的方向前進(jìn)6米到達(dá)D處,測(cè)得仰角為64°,求建筑物的高度.(測(cè)角器的高度忽略不計(jì),結(jié)果精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù):sin48°≈ ,tan48°≈ ,sin64°≈ ,tan64°≈2)

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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)的頂點(diǎn)為E,該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且BO=OC=3AO,直線y=﹣ x+1與y軸交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式;
(2)證明:△DBO∽△EBC;
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PBC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖, AD 為△ ABC 的中線, BE 為△ ABD 的中線.

(1)∠ ABE=15°,∠ BED=55°,求∠ BAD 的度數(shù);

(2)作△ BED 的邊 BD 邊上的高;

(3)若△ ABC 的面積為 20, BD=2.5,求△ BDE BD 邊上的高.

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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動(dòng),當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
(3)直線l經(jīng)過A、C兩點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動(dòng),直線m經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣5(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣5,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)E為x軸下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)SABE=SABC時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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