Question

【題目】如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切于P點，NP平分∠MNQ．

（1）求證：NQ⊥PQ；

（2）若⊙O的半徑R=2，NP=，求NQ的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OP，根據(jù)切線的性質(zhì)由直線PQ與⊙O相切得OP⊥PQ，再由OP=ON得到∠ONP=∠OPN，由NP平分∠MNQ得到∠ONP=∠QNP，利用等量代換得∠OPN=∠QNP，根據(jù)平行線的判定得OP∥NQ，所以NQ⊥PQ；

（2）連結(jié)PM，根據(jù)圓周角定理由MN是⊙O的直徑得到∠MPN=90°，易證得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然后利用相似比可計算出NQ的長．

試題解析：（1）證明：連結(jié)OP，如圖，∴直線PQ與⊙O相切，∴OP⊥PQ，∵OP=ON，∴∠ONP=∠OPN，∵NP平分∠MNQ，∴∠ONP=∠QNP，∴∠OPN=∠QNP，∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ；

（2）連結(jié)PM，如圖，∵MN是⊙O的直徑，∴∠MPN=90°，∵NQ⊥PQ，∴∠PQN=90°，而∠MNP=∠QNP，∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，∴，即，∴NQ=3．