Question

【題目】如圖1，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．平行于y軸的直線l從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向右平移，到C點(diǎn)時(shí)停止；直線l分別交線段BC、OC、x軸于點(diǎn)D、E、P，以DE為斜邊向左側(cè)作等腰直角，設(shè)直線l的運(yùn)動時(shí)間為t(秒)．

(1)填空：k=____；b=____；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F在y軸上(如圖2所示)；

(3)設(shè)與重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫解答過程)，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)，4；(2)t=1．(3)S=（t﹣2）2．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求得k和b的值；

（2）當(dāng)F在y軸上時(shí)，F到DE的距離等于DE的長的一半，據(jù)此即可列方程求得t的值；

（3）分F在y軸的左側(cè)和右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)F在y軸的左側(cè)時(shí)，陰影部分是兩個(gè)等腰直角三角形面積的差，當(dāng)F在y軸的右側(cè)時(shí)，陰影部分就是△DEF的面積，根據(jù)三角形的面積公式即可求得函數(shù)的解析式．

（1）把（2，）代入y=﹣x+b得：﹣+b=，解得：b=4；

把（2，）代入y=kx中，2k=，解得：k=．

故答案為：，4；

（2）由（1）得兩直線的解析式為：

y=﹣x+4和y=x，依題意得：OP=t，則D（t，﹣t+4），E（t，t），

∴DE=﹣2t+4，作FG⊥DE于G，則FG=OP=t．

∵△DEF是等腰直角三角形，FG⊥DE，∴FG=DE，即t=（﹣2t+4），解得：t=1．

（3）當(dāng)0＜t≤1時(shí)（如圖1），S△DEF=（﹣t+4﹣t）（﹣t+4﹣t）=（﹣2t+4）2=（t﹣2）2，在y軸的左邊部分是等腰直角三角形，底邊上的高是：（﹣t+4﹣t）﹣t=（﹣2t+4）﹣t=2﹣2t，則面積是：（2﹣2t）2．

S=（t﹣2）2﹣（2﹣2t）2=﹣3t2+4t；

當(dāng)1＜t＜2時(shí)（備用圖），作FK⊥DE于點(diǎn)K．則：

S=（t﹣2）2．

綜上所述：當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=﹣3t2+4t；當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=（t﹣2）2．