【題目】如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在邊ABBC上,DE=AE,且∠B=∠C=∠DEA=β。

1)求證:△BDE≌△CEA

2)當(dāng)∠DEB=β 時(shí),

①求 β 的值;

②若將△AEC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得∠DEA =90°,如圖2所示,其余條件不變,連結(jié)ABCE的延長(zhǎng)線于F,求證:CF=CA .

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①β=30°;②見(jiàn)解析.

【解析】

1)由△BDE的外角∠DEC=B+BDE和∠B=DEA,可推出∠BDE=AEC,再由條件DE=AE,∠B=C,根據(jù)角角邊即可判定全等;

2BDE≌△CEA可得∠CAE=DEB=β,在等腰三角形ADE中可求出

DAE=,然后在△ABC中,利用內(nèi)角和180°建立方程可求解;

1)證明:∵∠DEC=B+BDE,∠B=DEA

∴∠BDE=AEC

在△BDE和△CEA中,

2

∴∠CAE=DEB=β,

在△ADE中,DE=AE,∠DEA=β

∴∠ADE=DAE=

在△ABC中∠B+C+DAE+CAE=180°

解得

得圖1中∠C=B=DEA=

∴∠ADE=DAE==75°

∵∠ADE=B+BED,∴∠BED=45°,

然后在圖2中延長(zhǎng)BEAC于點(diǎn)G,過(guò)DDHBEH,如下圖所示,

則△DEH為等腰直角三角形,DH=HE,

∵旋轉(zhuǎn)前∠DEA=30°,旋轉(zhuǎn)后為90°,

∴△AEC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

∴∠CEG=BEF=60°,

又∵∠C=30°,∴∠EGC=90°,∠CAE=BED=45°,

∴△AEG也為等腰直角三角形,

在△DEH和△AEG中,

DH=HE=EG=AG

設(shè)DH=a,則HG=2a,

∵在RTADE中,DE=AE,∴∠ADE=45°=BED

ADBG,又∵DHHGAGHG,

∴四邊形ADHG為矩形,

AD=HG=2a,

RtBDH中,∠DBH=30°,∴BD=2DH=2a

AD=BD,

∴∠DBA=DAB,

又∵ADBG

∴∠DAB=ABH,

∴∠DBA=ABH=DBH=15°

∴∠AFC=ABH+BEF=15°+60°=75°,

在△ACF中,∠C=30°,∠AFC=75°,

∴∠CAF=

∴∠AFC=CAF

CF=CA

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3)將圖②中△DAE繼續(xù)繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蚶^續(xù)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D落在CA的延長(zhǎng)線時(shí),請(qǐng)畫(huà)出圖形,并直接寫(xiě)出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立.

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