Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠B=90°，分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點(diǎn)E．

（1）∠E=　 　°；

（2）分別作∠EAB與∠ECB的平分線，且兩條角平分線交于點(diǎn)F．

①依題意在圖1中補(bǔ)全圖形；

②求∠AFC的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，射線FM在∠AFC的內(nèi)部且∠AFM=∠AFC，設(shè)EC與AB的交點(diǎn)為H，射線HN在∠AHC的內(nèi)部且∠AHN=∠AHC，射線HN與FM交于點(diǎn)P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH滿足的數(shù)量關(guān)系為∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，請(qǐng)直接寫(xiě)出m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠CAF=∠DAC，∠ACE=∠ACB，設(shè)∠CAF=x，∠ACE=y，根據(jù)已知可推導(dǎo)得出x﹣y=45，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得答案；

（2）①根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖的方法作出圖形即可；

②如圖2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=y，再根據(jù)∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推導(dǎo)得出45°+=∠F+y，由此即可求得答案；

（3）如圖3，設(shè)∠FAH=α，根據(jù)AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根據(jù)已知可推導(dǎo)得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=，再根據(jù)∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.

（1）如圖1，

∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，

∴∠CAF=∠DAC，∠ACE=∠ACB，

設(shè)∠CAF=x，∠ACE=y，

∵∠B=90°，

∴∠ACB+∠BAC=90°，

∴2y+180﹣2x=90，

x﹣y=45，

∵∠CAF=∠E+∠ACE，

∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，

故答案為：45；

（2）①如圖2所示，

②如圖2，∵CF平分∠ECB，

∴∠ECF=y，

∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，

∴45°+∠EAF=∠F+y ①，

同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，

∴45°+2∠EAF=90°+y，

∴∠EAF=②，

把②代入①得：45°+=∠F+y，

∴∠F=67.5°，

即∠AFC=67.5°；

（3）如圖3，設(shè)∠FAH=α，

∵AF平分∠EAB，

∴∠FAH=∠EAF=α，

∵∠AFM=∠AFC=×67.5°=22.5°，

∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，

∴45+α=67.5+∠FCH，

∴∠FCH=α﹣22.5①，

∵∠AHN=∠AHC=（∠B+∠BCH）=（90+2∠FCH）=30+∠FCH，

∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，

∴α+22.5=30+∠FCH+∠FPH，②

把①代入②得：∠FPH=，

∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，

α﹣22.5=mα+n，

解得：m=2，n=﹣3．