Question

【題目】已知拋物線y=x2﹣4x﹣m（m＞0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，D為拋物線的頂點，C點關于拋物線對稱軸的對稱點為C′點．

（1）若m=5時，求△ABD的面積．

（2）若在（1）的條件下，點E在線段BC下方的拋物線上運動，求△BCE面積的最大值．

（3）寫出C點（ ， ）、C′點（ ， ）坐標（用含m的代數(shù)式表示）

如果點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出Q點和P點的坐標（可用含m的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）△ABD的面積為27；（2）△BCE面積的最大值是；

（3）C（0，﹣m），C′（4，﹣m），Q點和P點的坐標分別是：Q（2，4﹣m），P（2，﹣4﹣m）或Q（2，12﹣m），P（6，12﹣m） 或Q（2，12﹣m），P（﹣2，12﹣m）．

【解析】分析：（1）將m=5代入y=x2﹣4x﹣m，得y=x2﹣4x﹣5，求出A、B、D三點的坐標，根據(jù)三角形面積公式即可求出△ABD的面積；

（2）點E在線段BC下方的拋物線上時，設E（m，m2﹣4m﹣5），過點E作y軸的平行線交BC于F．利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，可用含m的代數(shù)式表示點F的坐標，繼而可得線段EF的長，然后利用S△BCE=S△CEF+S△BEF=EFBO，得出S關于m的二次函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質求出最大值；

（3）把x=0代入y=x2﹣4x﹣m，求出C點坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出C′點的坐標；以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，可分兩種情況：①CC′為對角線，由平行四邊形對角線的性質可求出Q點和P點的坐標；②CC′為一條邊，根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等，亦能求出Q點和P點的坐標．

詳解：（1）若m=5時，拋物線即為y=x2﹣4x﹣5，令y=0，得x2﹣4x﹣5=0，解得x=5或x=﹣1，則A（﹣1，0），B（5，0），AB=6．

∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴頂點D的坐標為（2，﹣9），∴△ABD的面積=×AB×|yD|=×6×9=27；

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線交BC于F．

在（1）的條件下，有y=x2﹣4x﹣5，則C（0，﹣5），設直線BC的解析式為y=kx﹣5（k≠0）．

把B（5，0）代入，得：0=5k﹣5，解得：k=1．

故直線BC的解析式為：y=x﹣5．

設E（m，m2﹣4m﹣5），則F（m，m﹣5），∴S△BCE=EFOB=×（m﹣5﹣m2+4m+5）×5=﹣（m﹣）2+，即S△BCE=﹣（m﹣）2+，∴當m=時，△BCE面積的最大值是；

（3）∵y=x2﹣4x﹣m（m＞0），∴x=0時，y=﹣m，對稱軸為直線x=2，∴C（0，﹣m）．

∵C點關于拋物線對稱軸的對稱點為C′點，∴C′（4，﹣m）．

以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況：

①線段CC′為對角線，如圖2．

∵平行四邊對角線互相平分，∴PQ在對稱軸上，此時P點為拋物線的頂點，與D點重合．

∵y=x2﹣4x﹣m=（x﹣2）2﹣4﹣m，∴P（2，﹣4﹣m）．

∵線段PQ與CC′中點重合，C（0，﹣m），C′（4，﹣m），設Q（2，y），∴=﹣m，解得：y=4﹣m，∴Q（2，4﹣m）；

②線段CC′為邊，如圖3．

∵以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴PQ=CC′=4，設點Q的坐標為（2，y），則點P坐標為（6，y）或（﹣2，y）．

∵點P在拋物線上，將x=6和x=﹣2分別代入y=x2﹣4x﹣m中，解得y均為12﹣m，故點P的坐標為（6，12﹣m）或（﹣2，12﹣m），Q（2，12﹣m）．

綜上所述：如果點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，Q點和P點的坐標分別是：

Q（2，4﹣m），P（2，﹣4﹣m）或Q（2，12﹣m），P（6，12﹣m） 或Q（2，12﹣m），P（﹣2，12﹣m）．