【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC,AC交于點D,E,過點D作⊙O的切線DF,交AC于點F.

(1)求證:DF⊥AC;

(2)若⊙O的半徑為4,∠CDF=22.5°,求陰影部分的面積.

【答案】(1)證明見解析;(2)4π-8.

【解析

試題分析:(1)連接OD,易得∠ABC=∠ODB,由AB=AC,易得∠ABC=∠ACB,等量代換得∠ODB=∠ACB,利用平行線的判定得OD∥AC,由切線的性質(zhì)得DF⊥OD,得出結(jié)論;

(2)連接OE,利用(1)的結(jié)論得∠ABC=∠ACB=67.5°,易得∠BAC=45°,得出∠AOE=90°,利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論.

試題解析:(1)連接OD,

OB=OD,

∠ABC=∠ODB,

AB=AC,

∠ABC=∠ACB,

∠ODB=∠ACB,

OD∥AC,

DF是⊙O的切線,

DF⊥OD,

DF⊥AC.

(2)連接OE,

DF⊥AC,∠CDF=22.5°,

∠ABC=∠ACB=67.5°,

∠BAC=45°,

OA=OE,

∠AOE=90°,

⊙O的半徑為4,

S扇形AOE=4π,S△AOE=8

S陰影=4π-8.

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